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-1-第四章圆与方程-2-4.1圆的方程-3-4.1.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.明确圆的基本要素,能用定义推导圆的标准方程.2.会求圆的标准方程,能够判断点与圆的位置关系.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.圆基本要素当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此,确定一个圆最基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2图示说明若点M(x,y)在圆C上,则点M的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则点M在圆C上目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12名师点拨1.由圆的标准方程,可直接得到圆心和半径;给出圆心和半径,也可直接写出圆的标准方程.2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-1】圆x2+y2=1的圆心坐标为()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)答案:A目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做1-2】圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为()答案:BA.1B.2C.2D.4目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(𝑥0-𝑎)2+(𝑦0-𝑏)2.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0-a)2+(y0-b)2r2目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内dr(x0-a)2+(y0-b)2r2目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12【做一做2】已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C的内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有()A.d2B.0≤d2C.d4D.0≤d4答案:D目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.特殊位置的圆的标准方程剖析:如下表所示.条件方程形式圆过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2(r≠0)圆心在原点x2+y2=r2(r≠0)目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.圆不是函数的图象剖析根据函数的知识,对于平面直角坐标系中某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象;否则,不是函数的图象.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线与圆至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如,函数y=b+𝑟2-(𝑥-𝑎)2(r0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r,位于直线y=b上方的半圆;函数y=b-𝑟2-(𝑥-𝑎)2(r0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r,位于直线y=b下方的半圆.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12函数和圆的联系,丰富了函数概念的内涵,又对圆赋予了代数意义.因此,可以用函数来研究平面几何问题,反过来也可以用平面几何研究函数问题,这充分揭示了数和形的密切联系,体现了数形结合的完美统一.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型一判断点与圆的位置关系【例1】已知圆C:(x-5)2+(y-6)2=10,试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆C的位置关系.解:圆心C(5,6),半径r=10.|CM|=(6-5)2+(9-6)2=10,|CN|=(3-5)2+(3-6)2=1310,|CQ|=(5-5)2+(3-6)2=310.因此点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四反思判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心间的距离和圆的半径的大小关系;也可将该点的坐标代入圆的方程判断.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解:因为点A在圆的内部,所以(1-a)2+(2+a)22a2,所以2a+50,解得a−52.故实数a的取值范围是𝑎𝑎-52.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型二求圆的标准方程【例2】求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程.解法一:(直接法)由题意,得线段AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,由3𝑥+2𝑦-15=0,3𝑥+10𝑦+9=0,解得𝑥=7,𝑦=-3.所以圆心C的坐标为(7,-3).所以r=|CB|=72+(1+3)2=65.故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.则有(6-𝑎)2+(5-𝑏)2=𝑟2,(0-𝑎)2+(1-𝑏)2=𝑟2,3𝑎+10𝑏+9=0,解得a=7,b=-3,r=65.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四反思求圆的标准方程的方法:(1)直接法求圆的标准方程的策略:①确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.(2)待定系数法,步骤是:①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0);②由条件列方程(组)解得a,b,r的值;③写出圆的标准方程.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求下列圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径是2;(2)圆心在点(2,-1),且过原点;(3)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2).解:(1)因为圆心为(0,0),半径为2,所以圆的标准方程为x2+y2=4.(2)因为圆心为(2,-1),且过原点,所以圆的半径r=22+(-1)2=5,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四(3)因为圆心在y轴上,故可设圆心坐标为(0,b),因为圆的半径为1,且过点(1,2),故圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.所以(0-1)2+(𝑏-2)2=1,解得b=2,目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型三圆上的点与一定点的距离的最值【例3】已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求(𝑥+1)2+(𝑦+1)2的最大值与最小值.解:由已知得P(x,y)在圆x2+(y+4)2=4上,圆心C(0,-4),半径r=2,设A(-1,-1),则|PA|=(𝑥+1)2+(𝑦+1)2.因为(-1)2+(-1+4)24,所以点A(-1,-1)在圆外.而|AC|=(0+1)2+(-4+1)2=10,所以(𝑥+1)2+(𝑦+1)2的最大值为|AC|+r=10+2,最小值为|AC|-r=10−2.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四反思形如(x-m)2+(y-n)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题,体现了转化思想.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知实数x,y满足(x-2)2+y2=9,求x2+y2的最大值和最小值.解:根据题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.因为原点(0,0)到圆心C(2,0)的距离为2,半径r=3,所以圆上的点到坐标原点的最大距离为2+3=5,最小距离为3-2=1,所以x2+y2的最大值为25,最小值为1.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析错因分析:圆C的半径r≠3,应有r2=3,r=3.正解:圆C的半径r=3,则周长等于2πr=23π.答案:23π反思圆C:(x-a)2+(y-b)2=m(m0),其中圆C的半径r≠m,应为r=𝑚.易错点:不理解圆的标准方程而致错【例4】已知圆C:(x-5)2+(y+1)2=3,则圆C的周长等于.错解易知圆的半径r=3,则周长等于2πr=6π,故填6π.