高中数学人教A版选修44模块检测卷一Word版含解析

模块检测卷(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：选B设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．即(x－2)2＋y2＝4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.2．柱坐标2，π3，1对应的点的直角坐标是()A．(3，－1,1)B．(3，1,1)C．(1，3，1)D．(－1，3，1)解析：选C由直角坐标与柱坐标之间的变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z可得x＝1，y＝3，z＝1.3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是()A．0B.2C.2＋1D.2－1解析：选DA的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝2，则|PA|min＝2－1.4．直线x＝sinθ＋tsin15°，y＝cosθ－tsin75°(t为参数，θ是常数)的倾斜角是()A．105°B．75°C．15°D．165°解析：选A参数方程x＝sinθ＋tsin15°，y＝cosθ－tsin75°⇒x＝sinθ＋tcos75°，y＝cosθ－tsin75°，消去参数t得，y－cosθ＝－tan75°(x－sinθ)，∴k＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°.故直线的倾斜角是105°.5．双曲线x＝tanθ，y＝21cosθ(θ为参数)的渐近线方程为()A．y＝±22xB．y＝±12xC．y＝±2xD．y＝±2x解析：选D把参数方程化为普通方程得y24－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.6．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋3t(t为参数)所表示的图形分别是()A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线解析：选A∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x表示圆．∵x＝－1－t，y＝2＋3t，∴y＋3x＝－1表示直线．7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A．ρ＝πB．ρ＝cosθC．ρ＝πcosθD．ρ＝－πcosθ解析：选D设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知|OM|cos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝－πcosθ.8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ相交，则k满足的条件是()A．k≤－34B．k≥－34C．k∈RD．k∈R且k≠0解析：选A由题意可知直线l过定点(0，－2)，曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时|k＋2|k2＋1＝1，得－k＝34.若满足题意，只需－k≥34.即k≤－34即可．9．参数方程x＝1＋sinθ，y＝cos2π4－θ2(θ为参数，0≤θ2π)所表示的曲线是()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分，且过点－1，12D．抛物线的一部分，且过点1，12解析：选D由y＝cos2π4－θ2＝1＋cosπ2－θ2＝1＋sinθ2，可得sinθ＝2y－1，由x＝1＋sinθ得x2－1＝sinθ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，又x＝1＋sinθ∈[0，2]．∴表示抛物线的一部分，且过点1，12.10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的面积为()A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝3x，x＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝12|OQ|·|yP|＝12×1×33＋1＝3－34.11．设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝|2＋3＋2|10＝71010且3－7101071010，故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点．12．已知直线x＝2－tsin30°，y＝－1＋tsin30°(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为()A．27B.30C.152D.302解析：选Cx＝2－tsin30°，y＝－1＋tsin30°⇒x＝2－12t＝2－22t′，y＝－1＋12t＝－1＋22t′(t′为参数)．代入x2＋y2＝8，得t′2－32t′－3＝0，∴|BC|＝|t′1－t′2|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝322＋4×3＝30，弦心距d＝8－304＝22，S△BCO＝12|BC|·d＝152.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．将参数方程x＝a2t＋1t，y＝b2t－1t(t为参数)转化成普通方程为________．解析：参数方程变为2xa＝t＋1t，2yb＝t－1t，∴2x2a2－2y2b2＝4，∴x2a2－y2b2＝1.答案：x2a2－y2b2＝114．在极坐标中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsinθ＋π4＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2r2－d2＝242－2222＝43.答案：4315．(广东高考)已知曲线C的参数方程为x＝2cost，y＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．解析：曲线C的普通方程为：x2＋y2＝(2cost)2＋(2sint)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，可得l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.答案：ρsinθ＋π4＝216．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：ρcosθ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①x＝t2，y＝t3化为普通方程为y2＝x3，②①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组y＝2x－1，y2＝2x，解得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解：(1)证明：将方程y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0可配方为(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)∴图象为抛物线．设其顶点为(x，y)，则有x＝4cosθ，y＝3sinθ，消去θ得顶点轨迹是椭圆x216＋y29＝1.(2)联立x＝14，y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0消去x，得y2－6ysinθ＋9sin2θ＋8cosθ－28＝0.弦长|AB|＝|y1－y2|＝47－2cosθ，当cosθ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝21－cosθ，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，Cρ3，θ＋π2，Dρ4，θ＋3π2.则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)＝21－cosθ＋21＋cosθ＋21＋sinθ＋21－sinθ＝16sin22θ.∴当sin22θ＝1即θ＝π4或θ＝3π4时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π4时，|AB|＋|CD|有最小值16.21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)．求a，b的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0，得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1，所以b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝