13-度量空间的可分性与完备性

第一章度量空间11.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，,ABX，如果B中任意点xB的任何邻域(,)Ox内都含有A的点，则称A在B中稠密．若AB，通常称A是B的稠密子集．注1：A在B中稠密并不意味着有AB．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1设(,)Xd是度量空间，下列命题等价：(1)A在B中稠密；(2)xB，{}nxA，使得lim(,)0nndxx；(3)BA（其中AAA，A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)）；(4)任取0，有(,)xABOx．即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖B．证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,,ABCX，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密．证明由定理1.1知BA，CB，而B是包含B的最小闭集，所以BBA，于是有CA，即A在C中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间[,]ab上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]Pab在连续函数空间[,]Cab中稠密．参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]Cab在有界可测函数集[,]Bab中稠密．(3)有界可测函数集[,]Bab在p次幂可积函数空间[,]pLab中稠密(1p)．利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]Cab在p次幂可积函数空间[,]pLab中稠密(1p)．因此有[,][,][,][,]pPabCabBabLab．定义1.3.2设X是度量空间，AX，如果存在点列{}nxA，且{}nx在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集)．当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间．1.3度量空间的可分性与完备性2注3：X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1欧氏空间nR是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成nR的一个可列稠密子集．}证明设12{(,,,)|,1,2,,}nniQrrrrQin为nR中的有理数点集，显然nQ是可数集，下证nQ在nR中稠密．对于nR中任意一点12(,,,)nxxxx，寻找nQ中的点列{}kr，其中12(,,,)kkkknrrrr，使得()krxk．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数ix(1,2,,in)，存在有理数列()kiirxk.于是得到nQ中的点列{}kr，其中12(,,,)kkkknrrrr，1,2,.k现证()krxk．0，由()kiirxk知，iKN，当ikK时，有||kiirxn，1,2,,in取12max{,,,}nKKKK，当kK时，对于1,2,,in，都有||kiirxn，因此22(,)||nkkiiindrxrxn即()krxk，从而知nQ在nR中稠密．□例1.3.2连续函数空间[,]Cab是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]oPab在[,]Cab中稠密，而[,]oPab是可列集．}证明显然[,]oPab是可列集．()[,]xtCab，由Weierstrass多项式逼近定理知，()xt可表示成一致收敛的多项式的极限，即0，存在(实系数)多项式()pt，使得(,)max|()()|2atbdxpxtpt另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]ptPab，使得00(,)max|()()|2atbdppptpt因此，00(,)(,)(,)dxpdxpdpp，即0()(,)ptOx，在[,]Cab中任意点()xt的任意邻域内必有[,]oPab中的点，按照定义知[,]oPab在[,]Cab中稠密．□例1.3.3p次幂可积函数空间[,]pLab是可分的．证明由于[,]oPab在[,]Cab中稠密，又知[,]Cab在[,]pLab中稠密，便可知可数集[,]oPab在[,]pLab中稠密．□例1.3.4p次幂可和的数列空间pl是可分的．证明取12{(,,,,0,,0,)|,}oniErrrrQnN，显然oE等价于1nnQ，可知oE可数，下面证oE在pl中稠密．12(,,,,)pnxxxxl，有1||piix，因此0，NN，当nN时，第一章度量空间31||2ppinNx又因Q在R中稠密，对每个ix(1iN)，存在irQ，使得||2ppiixrN，(1,2,3,,)iN于是得1||2pNpiiixr令0120(,,,,0,,0,)NxrrrE，则11011(,)(||||)()22ppNppppiiiiiiNdxxxrx因此oE在pl中稠密．□例1.3.5设[0,1]X，则离散度量空间0(,)Xd是不可分的．证明假设0(,)Xd是可分的，则必有可列子集{}nxX在X中稠密．又知X不是可列集，所以存在*xX，*{}nxx．取12，则有***01(,)(,)2Oxxdxxx即*(,)Ox中不含{}nx中的点，与{}nx在X中稠密相矛盾．□思考题:离散度量空间0(,)Xd可分的充要条件为X是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)20.6252=1.25取1；0.252=0.50取0；0.52=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nniiixxxx，例如(0.101)2=1010111(101)(0.625)248．因此[0,1]与子集12{(,,,,)01}nnAxxxxx或对等，由[0,1]不可数知A不可列．例1.3.6有界数列空间l是不可分的．12{(,,,,)=()|}nilxxxxxx为有界数列，对于()ixx，()iyyl，距离定义为1(,)sup||iiidxyxy．证明考虑l中的子集12{(,,,,)01}nnAxxxxx或，则当,xyA,xy时，有(,)1dxy．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A与[0,1]一一对应，故A不可列．假设l可分，即存在一个可列稠密子集0A，以0A中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l，也覆盖A．因0A可列，而A不可列，则必有某开球内含有A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为0x，于是1.3度量空间的可分性与完备性4001121(,)(,)(,)333dxydxxdxy矛盾，因此l不可分．□1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛．即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3基本列设{}nx是度量空间X中的一个点列，若对任意0，存在N，当,mnN时，有(,)mndxx则称{}nx是X中的一个基本列(或Cauchy列）．定理1.3.3(基本列的性质)设(,)Xd是度量空间，则(1)如果点列{}nx收敛，则{}nx是基本列；(2)如果点列{}nx是基本列，则{}nx有界；(3)若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．证明(1)设{}nxX，xX，且nxx．则0，NN，当nN时，(,)2ndxx，从而n，mN时，(,)(,)(,)22nmnmdxxdxxdxx．即得{}nx是基本列．(2)设{}nx为一基本列，则对1，存在N，当nN时，有1(,)1Nndxx，记11211max{(,),(,),,(,),1}1NNNNMdxxdxxdxx，那么对任意的,mn，均有11(,)(,)(,)2nmnNmNdxxdxxdxxMMM，即{}nx有界．(3)设{}nx为一基本列，且{}knx是{}nx的收敛子列，().knxxk于是，10,NN，当1,mnN时，(,)2nmdxx；2NN，当2kN时，(,)2kndxx．取12max{,}NNN，则当nN，kN时，knkN，从而有(,)(,)(,)22kknnnndxxdxxdxx，故()nxxn．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？例1.3.7设(0,1)X，,xyX，定义(,)dxyxy，那么度量空间(,)Xd的点列1{}1nxn是X的基本列，却不是X的收敛列．第一章度量空间5证明对于任意的0，存在NN，使得1N，那么对于mNa及nNb，其中,abN，有11(,)11(1)(1)nmnmabdxxxxNbNaNaNbmax{,}1(1)(1)ababNaNbNaNbN，即得{}nx是基本列．显然1lim01nXn，故{}nx不是X的收敛列．或者利用1{}{}1nxn是R上的基本列，可知0，NN，当,nmN时有1111nm．于是可知1{}1nxn也是X上的基本列．□如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度量空间．例1.3.8n维欧氏空间nR是完备的度量空间．证明由nR中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得．□例1.3.9连续函数空间[,]Cab是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max|()()|tabdfgftgt)证明设{}nx是[,]Cab中的基本列，即任给0,存在N，当,mnN时，(,)mndxx即[,]max()()mntabxtxt故对所有的[,]tab,()()mnxtxt，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数()xt，使{()}nxt在[,]ab上一致收敛于()xt，即(,)0()mdxxn,且[,]xCab.因此[,]Cab完备．□例1.3.10设[0,1]XC，(),()ftgtX，定义110(,)|()()|dfgftgtdt，那么1(,)Xd不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)Xd完备)证明设10021111()()22211112ntftnttntn()[0,1]nftC的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]nftC，1,2,3,n．因为1(,)mndff是下面右图中的三角形面积，所以0，1N，当,mnN时，有1.3度量空间的可分性与完备性61111(,)2mndffnm，OYT1112ma()mft112mmaOYT1112na()nft112nnaOYT1112nama10|()()|mnSftftdx图1.3.1()[0,1]nftC图像及有关积分示意图于是