同济六版高数下教案

1第十章重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。§101二重积分的概念与性质教学内容：二重积分的概念及性质重点难点：二重积分的概念及性质一、引例1曲顶柱体的体积V设有一立体它的底面是xOy面上的闭区域D其侧面为母线平行于z轴的柱面其顶是曲面zf(xy)非负连续称为曲顶柱体若立体的顶是平行于xoy面的平面。体积=底面积高现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积（i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域：12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体（ii）代替：在每个i中任取一点(ii)以f(ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f(ii)i(i12n)（iii）近似和：整个曲顶柱体体积ViiinifV),(1分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.（iv）取极限：其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。则iiinifV),(lim10其中iii),(2平面薄片的质量当平面薄板的质量是均匀分布时,质量=面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M?设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为),(yx这里),(yx非负连续现在要计算该薄片的质量M（i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：12n（ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量im(ii)i（iii）近似和：各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值iiiniM),(1将分割加细取极限得到平面薄片的质量（iv）取极限：则iiiniM),(lim10两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：“分割,代替,近似和,取极限”(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:iiinifV),(lim10平面薄片的质量:},{max1的直径记ini},{max1的直径记iniiiiniM),(lim10二、二重积分的定义及可积性定义：设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域12n其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和iiinif),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分记作dyxfD),(即iiiniDfdyxf),(lim),(10f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作dxdyyxfD),(其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的说明：当函数f(xy)在闭区域D上连续时则f(xy)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续，所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：dxdyxyD，其中}10,10|),{(yxyxD。三.二重积分的性质设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1dyxgdyxfdyxgyxfDDD),(),()],(),([性质2设k为常数，则dyxfkdyxkfDD),(),(性质3||1DddDD，其中(||D为D的面积)性质4设21DDD，且21,DD无公共内点，则dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(性质5.若在D上f(xy)g(xy)则dyxgdyxfDD),(),(特殊：（1）若在D上0),(yxf，则0),(dyxfD（2）dyxfdyxfDD|),(||),(|这是因为|),(|),(|),(|yxfyxfyxf性质6设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值||D为D的面积则||),(||DMdyxfDmD性质7(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点D),(，使),(),(fdyxfD例2.比较下列积分的大小：dyxD2)(，dyxD3)(，其中}2)1()2(|),{(22yxyxD小结1.二重积分的定义：niiiiDfdyxf10),(lim),(，)(dxdyd2.二重积分的性质（与定积分性质相似）教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。作业P137:4（1）（3），5（1）（4）§102二重积分的计算法教学内容：二重积分的计算重点难点：区域类型的划分、利用极坐标计算一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为)()(000201),()(xxdyyxfxA根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21即VdxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21可记为baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地如果区域D为Y型区域D1(x)y2(x)cyd则有dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例1计算dxyD其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx注积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是212][yDdyxydxdxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy例2计算dyxyD221其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx21)1(32103dxx也可D看成是Y型区域：1y11xy于是111222211yDdxyxydydyxy例3计算dxyD其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域解积分区域可以表示为DD1+D2其中xyxxD,10:1xyxD2,41:2于是41210xxxxDxydydxxydydxdxy积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是2122yyDxydxdydxy21222]2[dyyxyy2152])2([21dyyyy855]62344[21216234yyyy讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0y22xR,0x}为底以22xRz顶的曲顶柱体于是dxRVD228RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR002222][83022316)(8RdxxRR二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为iiiiii2221)(21iiii)2(21iiiii2)(iii其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点),(ii设其直角坐标为(ii)则有iiicosiiisin于是iiniiiiiiiniiiff1010)sin,cos(lim),(lim即ddfdyxfDD)sin,cos(),(若积分区域D可表示为1()2()则dfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(讨论如何确定积分限?dfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(dfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(例5计算Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是