2-2广义逆矩阵

.Word文档§2矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1设任意一个矩阵nmRA，若存在矩阵mnRX，满足AXA=A（1）XAX=X（2）(AX)T=AX（3）(XA)T=XA（4）这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X为A的广义逆矩阵。由上面的定义可知，广义逆矩阵有15CCCC44342414中之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。定义2对矩阵nmRA，一切满足方程组AAXA的矩阵X，称为矩阵A的减号逆或g-逆。记为A。例如，010001B，100001C都是010101A的减号逆。下面的定理解决了A的存在性和构造性问题。定理1(秩分解)设A为nm矩阵，()rankAr，若QOOOIPAr，或OOOIAQPr11.Word文档这里P,Q分别为nnmm,的可逆阵，则12221121PGGGIQAr(5)其中222112,,GGG是相应阶数的任意矩阵。证明设X为A的广义逆，则有QOOOIPQOOOIQXPOOOIPAAXArrrOOOIOOOIQXPOOOIrrr若记22211211GGGGQXP则上式，00000011rIGrIG11于是，12221121PGGGIQXAAXAr其中222112,,GGG任意.证毕.定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。.Word文档推论：若A右逆，则1211PGIQAm；若A左逆，则1112nAQIGP。例1设210121A,求A。解经过初等变换可得00100002100050110010210010010000010000011021001121032IIA于是10211P，1002105011Q故21121121121121212241251025110211001100210501tttttttttttPGIQA其中21,tt是任意数。再如：,0011A则任意aaA,001.推论.Word文档(1)对任意矩阵nmA，A总是存在且不唯一，全体记为1A.一般情况：设QPAnm,,是奇异方阵，且PAQB，A是A的减号逆，则111BPAQ，1)(PAPA，AQAQ1)(。(2)A唯一A为可逆矩阵。此时1AA(正则逆)；(3)rAArankAArankArankArank)()()()(，且()()()TRARAARAA；()()NAANA。QCIQAAPGIPAArr00,0011(4)AAIAAIAAAAmn,,,都是幂等矩阵，且rArankAArankAArankAAtrAAtr)()()()()(。(5)若()(),()()TRBRARCRA，则BACT与A的选择无关；(6))()(TTAA；(7)TTAAAA)(与广义逆)(AAT的选择无关(选择合适的逆)；(8),)(AAAAAATT,)(TTTTAAAAAA若P正定，则,)()(APAAPAAATT()()TTTTAPAAPAAA；(9)AAAGAAAAGATT；(10)0,0,0,)(1AA；(11));()())((ArankABrankAAABAB.Word文档);()()(BrankABrankBABABB(12)AA)(，如1001,0101BA，则ABBA但,。证明)4(~)1(,(10)可以从定理1和广义逆的定义得到证明。(5)的证明如下,由)()()(TTTTTTAAAAAAAAAA.(6)由()()TTRARAA，知存在矩阵B，使得ABAATT。于是，TTAAAA)(=()TTTTTTBAAAAAABBAAB，与)(AAT的选择无关。(7)记AAAAAAFTT)(,利用广义逆的定义,可以验证：,0FFT于是0F.第一式得证。同理可证其它两式。(8)必要性是显然的，下面证充分性。设0AAAGAAAAAGAATTTT,因为OAAAGAAEGAAAGAAAGAAAGAAAGATTTTTTTTT))(())(()()(所以,0AAGA,也就是AAGA.定理2设有一固定的A，则A的减号逆的通式为(1)WVWAAIAAIVAGnm,,)()(是相应的任意矩阵;.Word文档(2)VAVAAAVAG,是相应的任意矩阵。证明(1)由WAAAIAAAAIAVAAAAGAnm)()(AWAAAAWAAAVAAAVAAAAWAAWAAVAAVAA知G是A的减号逆。反之，设G是A的某个减号逆，令VAAWAGV,,并注意到OAAAAAAGAAAGAAVA)(有WAAIAAIVAVAAAAIAAIVAAAVAAAGAGnmnm)()()()()()((2)由AAUAAUAAAAUAAAAAUAAAAAGA即证G是A的减号逆；反之，设G是A的某个减号逆，令AGV，并注意到AAAAAAGAAAAAAGAAAVAAA)(OAAAAAA,.Word文档有AVAAAVAAAAGAAAGAG)()(证毕.定理1和定理2以后都称为矩阵A的减号逆的一般表达式。推论：,()()AABBARBRA。证明：由,()()AABBARBRA；反之由()()RBRAAAtAtAABAAtAtB,,B，即证结论.下面的两个定理圆满地解决了用广义逆矩阵表示相容线性方程组解集的问题。定理3设bAx为一相容方程组，则(1)对任一广义逆A，bAx必为解；(2)齐次方程组0Ax的通解为zAAIx)(，这里z为任意的向量，A为任意固定的一个广义逆；(3)bAx的通解为zAAIbAx)(其中A为任一固定的广义逆，z为任意向量.证明(1)由相容性假设知，存在0x，使bAx0。故对任一A，.Word文档bAxAxAAbAA00)(,即bAx为解。(2)设0x是0Ax的任一解，即00Ax，那么0000)()(xAAIAxAxAAIx即任一解都取zAAI)(的形式。反过来，对任意的z，因0)()(zAAAAzAAIA。故zAAI)(必为解.(3)任取定一个广义逆A，有(1)知bAx1为方程组bAx的一个特解。由(2)知zAAIx)(2为齐次方程组00Ax的通解。依非齐次线性方程组的解结构定理知，21xx为bAx的通解。证毕。定理4设bAx为相容线性方程组，且0b，那么，当A取遍A的所有广义逆时，bAx构成了该方程组的全部解。证明证明由两部分组成。其一，要证对每一个A，bAx为bAx的解，这已在前一定理中证明过了。其二，要证bAx的任意解0x，必存在一个A，使bAx0，由定理3知，存在A的一个广义逆G及0z，使得00)(zGAIGbx因0b，故总存在矩阵U，使Ubz0。例，可取TTbbbzU10)(。.Word文档于是HbbUGAIGUbGAIGbx))(()(0其中，UGAIGH)(。易验证H为一个A。定理得证。注：（1）两个定理给出了相容线性方程组解（用广义逆表示）的两种形式，一种A固定，另一种A不固定。（2）相容线性方程组bAx有唯一解的充分必要条件是A列满秩。定理5（Penrose定理）设qmqpnmCBA,,，则矩阵方程CAXB（6）有解的充要条件是CBCBAA（7）且在有解的情况下，其通解为AYBBAYCBAX（8）其中pnRY是任意矩阵。证明必要性如果矩阵方程(6)有解，设X为其任一解，则BCBAABAXBBAAAXBC.Word文档充分性若(7)成立，则CBAX是矩阵方程的解，即方程有解。下面证明(8)是(6)的通解。显然，(8)给出的X满足方程CAXB；另一方面，矩阵方程(6)的任意一解X都可以通过适当选取矩阵Y得到，即X总可写成AXBBAXCBAX，具有(8)的形式。定理6设AXB可乘，则有00,0BAXAXB或定理7设0,,0'AyxAyx定理6和定理7的证明可按矩阵向量化运算进行(Kronecker积)..Word文档§3mA与相容线性方程组的极小范数解定义1设nmRA，称同时满足AAGA（1）GAGAT)(（2）的mnRG为矩阵A的极小范数广义逆，记为mA或A(1,4)。上面的定义中G要满足的两个方程（1）和（2）可以用一个方程TTAGAA（3）来代替。事实上，由（1）式和（2）式可得AGAAT)(上式两端左乘以G得GAGAGAT)(（4）两边取转置TTGAGAGA)())((（5）比较（4）式（5）式，有GAGAT)(代入（3）式得TTTAAGA)(.Word文档即AAGA矩阵的极小范数广义逆mA与)(TAA有着密切的关系。定理1设nmrRA，则)(TTmAAAA（6）证明由推论(8)TTTTAAAAAA)(知AAAAAATT)(，又因AAAAAAAATTTTT)(])([，故)(TTmAAAA定理1说明mA通常也不唯一，而（6）还给出了计算mA的一种方法。在上节中，给出了相容线性方程组bAx的通解，现在，欲从这所有解中，求范数极小的解（或称LN解），即求减号逆G，使22||||min||||xGbbAx定理2向量Gbx是相容线性方程组bAx的极小范数解的充分必要条件是4,1AG。证明充分性设GA{1，A{1}，则线性方程组bAx的任一解可表示成x=Gb+(I－GA)c（c为任意向量）的形式。因此.Word文档),)(())(,())(,)((),())(,)((||)(||||||2222GbcGAIcGAIGbcGAIcGAIGbGbcGAIGbcGAIGbcGAIGbx由于bAx是相容的，从而有解bAxx00。于是0))(,(),)((0)()()()(][())(,())(,(00000TTTTTTcGAEGbGbcGAExGAGAcxGAGAGAcGAxGAEcGAxGAcEcGAEGAxcGAEGb从而222222||)(||||||))(,)((),(||||cGAEGbcGAEcGAEGbGbx故有22||||||||xGb或22||||min||||xGbbAx即Gb是bAx的极小范数解。必要性证明请读者自己完成。矩阵的极小范数广义逆mA通常不唯一，相容线性方程组bAx的极小范数解是否唯一呢？下面的定理回答了这个问题。定理3相容线性方程组bAx的极小范