考点70不等式的证明柯西不等式与均值不等式教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点70不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲设函数22()|||2|(,)fxxaxbabR.（1）若1a，0b，求()2fx的解集；（2）若()fx的最小值为8，求2ab的最大值.【答案】（1）13(,][,)22x；（2）26【解析】（1）因为1a，0b，所以1fxxx，当0x时，1122xxx，∴12x.当01x时，12xxx；当1x时，3122xxx，∴32x.综上所述：13,,22x.（2）∵2222222228xaxbxaxbab，又根据柯西不等式知2223226abab（当且仅当ab时取等号），故2ab的最大值为26.2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列na的前n项和是*nSnN，11a且1102nnnSSa（Ⅰ）求数列na的通项公式（Ⅱ）求证：对任意的*nN，不等式2311111111nnSSS成立。【答案】（Ⅰ）2,221231,1nnnnan；（Ⅱ）见解析.2【解析】（Ⅰ）∵11a且1102nnnSSa，即111022nnnnSSSSn112nnnnSSSS两边同除以1nnSS得1112nnSS∴数列1nS是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴112121nnnS，∴121nSn，当1n时，11a当2n时，1112212112123nnnaSSnnnn∴2,221231,1nnnnan．（Ⅱ）112112nnSn设数列nc的前n项积为1nTn，则112nnnTncnTn经检验1n时也成立要证不等式2311111111nnSSS成立，只需证不等式2112nnnn成立．两边平方即为2244114nnnnn即证2244144nnnn，显然成立．3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,ab满足2ab.(Ⅰ)求证：212123ab；(Ⅱ)若对任意正实数,ab，不等式|1||3|xxab恒成立，求实数x的取值范围.3【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2.【解析】(Ⅰ)2(2121)2()22212162()212abababab所以212123ab.(Ⅱ)对正实数,ab有2abab…，所以22ab，解得1ab，当且仅当ab时等号成立．因为对任意正实数,ab，|1||3|xxab恒成立，所以|1||3|1xx恒成立．当1x时，不等式化为1(3)1xx，整理得41，所以不等式无解；当13x-时，不等式化为1(3)1xx，解得332x；当3x时，不等式化为1(3)1xx，整理得41，不等式恒成立．综上可得x的取值范围是3[,)2．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列na是公比为12的等比数列，且21a是1a与31a的等比中项，其前n项和为nS；数列nb是等差数列，18b，其前n项和nT满足1nnTnb(为常数，且1).(1)求数列na的通项公式及的值；(2)设11nnkkCT.求证：当*nN时，14nnCS.【答案】(Ⅰ)12nna，12；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得221311aaa，即2111111124aaa，4解得112a，故数列的通项公式为12nna.1223188822162828nTbdbnTbddd.(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：188412nnnnTnbnn，则111141nTnn，121111111111114223141nnCTTTnn，1111442nnS，14nnCS„1111114142nn„12nn„，当n=1时，21nn；当n1时，01211111nnnnnnCCCnn.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|fxxx.（1）求不等式()5fx„的解集；（2）若存在实数0x，使得205fxmm„成立的m的最大值为M，且实数a，b满足33abM，证明：02ab„.【答案】(1)3,12(2)见证明【解析】（1）解：21215fxxx，15122xx，由绝对值得几何意义可得32x和1x上述不等式中的等号成立，5不等式5fx的解集为3,12；（2）由绝对值得几何意义易得1212fxxx的最小值为3，235mm，12m，2M，332ab，33222ababaabb，220aabb，0ab，222abab，24abab，24abab，332ab22abaabb23ababab314ab，2ab，02ab6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()lnxefxxx.（Ⅰ）当12时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）当11，20时，()nfme，其中,(0,)mn，证明：20mn.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）依题意，0,x，111221'xxxxeexefxxxx.当11时，10xe.所以当0,1x时，'0fx，当1,x时，'0fx.所以函数fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增.当11时，令'0fx，解得1x或1lnx.若1e，则'0fx，所以函数fx在0,上单调递增；若11e，则1ln1，6所以当10,lnx时，'0fx，当1ln,1x时，'0fx，当1,x时，'0fx，所以函数fx在10,ln和1,上单调递增，在1ln,1上单调递减；若1e，则1ln1，所以当0,1x时，'0fx，当11,lnx时，'0fx，当1ln,x时，'0fx，所以函数fx在0,1和1ln,上单调递增，在11,ln上单调递减.（Ⅱ）依题意，得1xefxx，所以1mneem.要证20mn，即证12nm，即证2mnee，即证21mmeem,即证210mmeme，所以只需证0m时，210mmeme成立即可.令21xxhxexe，则22=12xxxhxee.令212xxgxe，则211'0(0)22xgxex.所以gx在0,上单调递增.所以00gxg，即2102xxe，所以22'102xxxhxee.所以hx在0,上单调递增.所以00hxh，所以210mmeme，即20mn.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数2121fxxx，且不等式4fx的解集为M.(1)求M；(2)若,xMyM，求证：111xyyx．【答案】（1）1,1；（2）见解析7【解析】（1）解：当12x„时，不等式()4fx„变为21124xx，解得1…x，此时1x剟12.当1122x„时，不等式()4fx„变为21124xx，此不等式恒成立，此时1122x„.||||xy…当12x时，不等式()4fx„变为21214xx，解得1x„，此时112x„，综上，不等式的解集M是1,1；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]xy，则0||1,0||1xy剟剟，设||||xy…，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||xyxyxyyyxyyyy剟故111xyyx8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,fxxaxaR.（1）若不等式2()fxa对xR恒成立，求实数a的取值范围；（2）设实数m为（1）中a的最大值，若实数,,xyz满足42xyzm，求222()xyyz的最小值.【答案】（1）44a；（2）1621【解析】（1）因为函数4fxxax244xaxaa恒成立，解得44a；（2）由第一问可知4m，即4244()24xyzxyyz由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]xyyzxyyz8化简：2221621[()]xyyz即22216()21xyyz当且紧当：421xyyz时取等号，故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145fxxx的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数a，b，c满足abcM，求证：2222227abacbccba.【答案】（1）72；（2）详见解析.【解析】解：（1）146,21562,24564,4xxfxxxxx，由于函数y=146,2xx,是减函数，y=1562,24xx,是减函数，y=564,4xx，是增函数，故当54x时，fx取得最小值72M.（2）222222222abacbcabacbccbacbabcacababccbcaba27abc.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；9（2）设g（x）＝f（x12）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256mn．【答案】（1）2a；（2）见解析【解析】（1）解：由01f，得11a，即2a.由13f，得123aa，所以2a.（2）证明：由（1）知2122fxxx，所以1123232gxfxfxxx36,2334,2236,2xxxx，显然gx的最大值为6，即6t.因为6(0,0)mnmn，所以491491491366nmmnmnmnmn.因为4949212nmnmmnmn（当且仅当125m