2010数模试题与答案

1华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号123456789总分得分评阅人1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。将人、猫、鸡、米分别记为i=1，2，3，4，当i在此岸时记xi=1，否则为0；故此岸的状态下用s=（x1，x2，x3，x4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d=(u1,u2,u3,u4)，当i在船上时记ui=1，否则记ui=0。（1）写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及他们的5个反状态。（2）写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}（3）写出该问题的状态转移率。（4分）解：该问题的状态转移率为：sk+1=sk+(-1)kdk2、（满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分方程模型(不用求解)。下设x（t）表示t时刻的人口数。（1）假设人口的相对增长率（指dxxdt）是常数；（4分）解：模型为：dxkxdt,其中k为常数。（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分）解：模型为：dxdt=(r–sx)x，其中r与s为常数，且s0。（3）假设人口的增长率与xm–x（t）成正比，其中xm表示人口的最大数量；（4分）解：模型为：)(xxkdtdxm，其中k为常数。得分得分2（4）对问题（3）所建立的微分方程模型计算其平衡点，并判断其稳定性。（4分）解：设)()(xxkxfm，并令0)(xf，得到平衡点mxx。（2分）又：0kdxdf，（1分）因此：平衡点mxx为稳定平衡点。（1分）3、（满分12分）请利用一些简单的几何关系或你所设计的观察实验等，请对下列问题进行数学建模,包括必要的假设，符号说明，模型：（1）如何估计鱼的重量？（4分）解：首先，测量鱼的身长（l）和腰围（g），（1分）设鱼的体重为G及体积为V，并假设VG（1分）则：2glVG（2分）（2）如何估计一个人体内血液的总量？（4分）解：首先设计一个简单的实验：注射一定量的葡萄糖m，并测定注射前人体葡萄糖浓度（设为1），及注射后人体葡萄糖浓度（设为2）。（2分）假设注射前人体葡萄糖总量为M，下用x表示人体血液总量（用体积表示），则：（1分）即：（1分）（3）请对一个动物的体重和心率之间的关系建立一个简单的数学模型。研究已知：对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失。（4分）解：由于动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失。记动物体重为w，则：32wSP（1分）又能量（P）与从心脏到全身的血流量（记为Q）成正比，则：QP（1分）设动物的心率为r，因此qrQ，其中q是动物每次心跳泵出的血流量，并假设q与w成正比（1分）因此，31wr（1分）4、（满分5分）将自然数n分解为两个因子乘积，其因子个数用d（n）表示，如d（3）=2，因为3有二个因子1、3；d（4）=3，因为4有三个因子l、2、4，这当中有无规律可循呢？考察下表：n12345678910111213141516d(n)1223242434262445根据对上表的观察，请写出其中的规律。解：规律是：当自然数是完全平方数时，d（n）为奇数。（5分）得分得分21xmMxM21mx35、（满分12分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H为药物的最高安全量级，L为最低有效量级，x0为每次所开药物的剂量，T为用药间隔时间。现给定H＝3.5mg/ml，L＝1.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k＝0.02），（1）写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；（6分）解：第n次用药的初始浓度为：（1分）其中：（3分）因此（2分）（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划，即写出每次用药的药物剂量和最佳的时间间隔。（6分）解：每次用药剂量为：x0=H–L=2mg/ml（2分）时间间隔为：6、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对这些吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。请通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1(t),x2(t),x3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k，（3分）则11121222213223333233()[()]()xrxxxrkxxKxxrxKxxx（7分）7、（满分13分）经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵得分得分得分13781/31551/71/5131/81/51/31A01()()(0)nnnndCtkCtdtCCR10kTRCe102()kTnnandRCRe01(0)nnCCR3649.425.15.3ln02.01ln1LHkT4另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵：其中矩阵1234,,,CCCC的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种标准的优越性的比较尺度.假定这些成对比较阵（包括A）都通过了一致性检验，且已知1234,,,CCCC的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：矩阵最大特征值对应归一化特征向量C13.009(0.53960.29700.1634)C23.119(0.10560.74450.1499)C33.086(0.62670.27970.0936)C43.065(0.18840.73060.0810)(1)根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(4分)；解：记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则12:3CC即12CC比的影响稍强23:5CC即23CC比的影响强34:3CC即34CC比的影响稍强所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观(2)分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(4分)；解：考虑比较阵C1122a表明车型a的价格优越性高于车型b，即车型a比车型b便宜232a表明车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c便宜所以最便宜的车型为a.(1分)同理可得最省油的车型为b；(1分)最舒适的车型为a；(1分)最漂亮的车型为b。(1分)(3)确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5分)；解：用和法近似计算成对比较阵A的最大特征值为4.1983，对应的归一化特征向量为（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(1分)车型a的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41车型b的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型c的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15(3分)车型a，b，c的喜欢程度分别为41%，44%，15%（1分）1351/3141/51/41C3舒适度411/535171/31/71C外表11/51/251721/71C2耗油量11231/2121/31/21C价格58、（满分10分）设某商店要订购一批商品零售，设购进价c1，售出价c2，订购费c0（与数量无关），随机需求量r的概率密度为()pr，每件商品的贮存费为c3（与时间无关）。问如何确定订购量才能使商品的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？解：9、（满分12分）A,B,C三个厂家都生产某产品，2009年它们在某地区的市场占有率2009年分别为：A厂家:40%,B厂家:40%,C厂家:20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B厂家，20%转为C厂家；B厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，10%转为C厂家；C厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，40%转为B厂家。（1）预测2010年哪个厂家的市场占有率最大。（6分）解：状态转移概率矩阵为：0.60.20.20.10.80.10.10.40.5P（2分）(0)(0.4,0.4,0.2)a（1分）0.60.20.2(1)(0)(0.4,0.4,0.2)0.10.80.1(0.30.480.22)0.10.40.5aaP（2分）2010年B厂家市场占有率最大。（1分）（2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最小？（6分）设稳态概率123(,,)，则,wpw1231230.60.20.2(,,)0.10.80.1(,,)0.10.40.5（2分）又因为12311分）联立解得(0.2,0.6,0.2)w（2分）A，C厂家市场占有率最小得分得分