搜索
数学专题二图形操作与方案设计近年来，中考数学试题加强了对动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发展结论，从而解决问题．图形操作【例1】(2015·福州)定义：长宽比为n：1(n为正整数)的矩形称为n矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.则四边形BCEF为2矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝12＋12＝2，由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A＝∠BFE，∴EF∥AD，∴BGBD＝BFAB，即12＝BF1，∴BF＝12，∴BC：BF＝1：12＝2：1，∴四边形BCEF为2矩形．阅读以上内容，回答下列问题：(1)在图①中，所有与CH相等的线段是____________，tan∠HBC的值是_________；(2)已知四边形BCEF为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是3矩形；(3)将图②中的3矩形BCMN沿用(2)中的操作3次后，得到一个“n矩形”，则n的值是____．GH，DG2－16分析：(1)由折叠即可得到DG＝GH＝CH，根据DG＋BG＝BD，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；(2)只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为2矩形”的方法就可解决问题；(3)同(2)中的证明可得：将n矩形沿用(2)中的方式操作1次后，得到一个“n＋1矩形”，由此规律即可求出．解：(2)∵BF＝22，BC＝1，∴BE＝BF2＋BC2＝62，由折叠性质可知BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，则四边形BCMN为矩形，∴∠BNM＝∠F，∴MN∥EF，∴BPBE＝BNBF，即BP·BF＝BE·BN，∴62BN＝22，∴BN＝13，∴BC：BN＝1：13＝3：1，∴四边形BCMN是3矩形方程、不等式、函数方案设计【例2】(2015·绵阳)南海地质勘探队在南沙群岛的一个小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．(1)设运送这些矿石的总运费为y元，若使用甲货船x艘，请写出y与x之间的函数关系式；(2)如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种方案运费最低并求出最低费用．分析：(1)根据这些矿石的总费用为y＝甲货船运费＋乙货船运费，即可解答；(2)根据A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，列出不等式组，确定x的取值范围，根据x为整数，确定x的取值，即可解答．解：(1)y＝1000x＋1200(30－x)，即y＝－200x＋36000(2)由题意得20x＋15（30－x）≥565，15x＋25（30－x）≥500，解得23≤x≤25，因为x为整数，所以x＝23，24，25.方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，运费y＝1000×23＋1200×7＝31400(元)；方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，运费y＝1000×24＋1200×6＝31200(元)；方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，运费y＝1000×25＋1200×5＝31000(元)；经分析得方案三运费最低，为31000元1．(2015·宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③A2．(2015·黄石)一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用为_________元．29型号AB单个盒子容量(升)23单价(元)563.(2015·山西)综合与实践：制作无盖盒子任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计)．(1)请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；(2)请求出这块矩形纸板的长和宽．任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC＝12cm，AB＝DC＝6cm，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠EAB＝∠EDC＝90°.(1)试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明；(2)图2中的五棱柱盒子可按如图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果．(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗均忽略不计)解：任务一：(1)如图：(2)设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得4(x－2×4)(2x－2×4)＝616，解得x1＝15，x2＝－3(不合题意，舍去)，∴2x＝2×15＝30，则矩形纸板的长为30cm，宽为15cm任务二：(1)AE＝DE，证明：延长EA，ED分别交直线BC于M，N，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠ABM＝∠DCN＝60°，又∵∠EAB＝∠EDC＝90°，∴∠M＝∠N＝90°－60°＝30°，∴EM＝EN，又∵AB＝DC，∴△MAB≌△NDC(AAS)，∴AM＝DN，∴EM－AM＝EN－DN，∴AE＝DE(2)长至少为(18＋43)cm，宽至少为(4＋83)cm4．(2015·广安)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：目的地车型A村(元/辆)B村(元/辆)大货车800900小货车400600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？解：设大货车用m辆，小货车用n辆，根据题意得m＋n＝15，12m＋8n＝152，解得m＝8，n＝7，∴大货车用8辆，小货车用7辆(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；解：n＝800m＋900(8－m)＋400(10－m)＋600[7－(10－m)]，即n＝100m＋9400(3≤m≤8)(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．解：由题意得12m＋8(10－m)≥100，解得m≥5，又∵3≤m≤8，∴5≤m≤8且为整数，∵n＝100m＋9400，k＝100＞0，n随m的增大而增大，∴当m＝5时，n最小，最小值为n＝100×5＋9400＝9900(元)，则使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村，3辆大货车、2辆小货车前往B村，最少运费为9900元1．(2015·河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则()AA．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以D．甲可以，乙不可以2．(2015·南京)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)解：如图所示：3．(2015·绍兴)某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．(1)如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN＝8：9，问通道的宽是多少？(2)为了建造花坛，要修改(1)中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪中建造花坛．如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积．解：(1)设通道的宽为xm，AM＝8ym，∵AM：AN＝8：9，∴AN＝9y，∴2x＋24y＝18，x＋18y＝13，解得x＝1，y＝23，∴通道的宽应设计成1m(2)∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP＝8，则AB＞13不合题意，∴RQ＝8，∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，∴RP＝6，∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，∴PQ＝10，∴RE·PQ＝PR·QR＝6×8，∴RE＝4.8，∵RP2＝RE2＋PE2，∴PE＝3.6，同理可得：QF＝3.6，∴EF＝2.8，∴S四边形RECF＝4.8×2.8＝13.44，即花坛RECF的面积为13.44m24．(2015·黑龙江)某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的60吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用，已知1辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送29吨大米，2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送37吨大米．(1)求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？(2)已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用8辆货车，请求出租用货车的总费用W(元)与租用甲种货车的数量x(辆)之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用多少元．解：(1)设每辆甲种货车装a吨，每辆乙种货车装b吨，则a＋3b＝29，2a＋3b＝37，解得a＝8，b＝7，则每辆甲种货车装8吨，每辆乙种货车装7吨(2)W＝500x＋450(8－x)，即W＝50x＋3600(1≤x≤8)(3)根据题意得8x＋7(8－x)≥60，解得x≥4，又∵0≤x≤8的整数，∴4≤x≤8的整数，即W＝50x＋3600(4≤x≤8的整数)，∵k＝50＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝4时，W最小＝3800，∴租用4辆甲种货车，4辆乙种货车费用最少，最少费用是3800元5．(2015·泉州)(1)如图1是某个多面体的表面展开图．①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；②如果沿BC，GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？(不必说理)(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？(注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计)解：①(直)三棱柱，点A，M，D表示多面体的同一点②△BMC应满足的条件是：a.∠BMC＝90°，且BM＝DH或CM＝DH；b.∠MBC＝90°，且BM＝DH或BC＝DH；c.∠BCM＝90°，且BC＝DH或CM＝DH(2)连接AB，BC，CA，∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，∴矩形ACKL，BIJC，AGHB为棱柱的三个侧面，且四边形DGAL，EIBH，FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，∴AC＝LK，且AC＝DL＋FK，∴ACDF＝12，同理可得ABDE＝BCEF＝ACDF＝12，∴△ABC∽△DEF，∴S△ABCS△DEF＝14，即S△DEF＝4S△ABC，∴S侧S表＝S△DEF－2S△ABCS△DEF＝12，即该三棱柱的侧面积与表面积的比