中考数学综合题专题【动点综合型问题三】专题解析

数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————1中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析52．（辽宁葫芦岛）△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，如图2．设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．（1）当t＝0时，求点C的坐标；（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；（3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长；（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．解：（1）∵BC＝AC，CD⊥AB∴D为AB的中点，∴AD＝12AB＝4在Rt△CAD中，CD＝52－42＝3∴点C的坐标为（3，4）（2）如图2，当t＝4时，AO＝4在Rt△ABO中，D为AB的中点∴OD＝12AB＝4∴△AOD为等边三角形，∴∠BAO＝60°（3）如图3，从t＝0到t＝4这一时段点D的运动路线是DD′︵其中OD＝OD′＝4，又∠D′OD＝90°－60°＝30°∴DD′︵的长为30π×4180＝2π3（4）由题意，AO＝t当⊙C与x轴相切时，A为切点，如图4∴CA⊥OA，∴CA∥y轴∴∠CAD＝∠ABO，∴Rt△CAD∽Rt△ABO∴ABCA＝AOCD，即85＝t3∴t＝245当⊙C与y轴相切时，B为切点，如图5yBCDxO图2AyBCDxO(A)图1yBCDxO图2AyBCD′xO图3ADyBCxO图5ADyBCxO图4AD数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————2同理可得t＝325∴t的值为245或32553．（辽宁丹东）已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且|OC|＝3|OA|．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴负半轴上的一点，且OD＝2，以OD为边向左作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，当点F与点B重合时停止移动．在移动过程中，设正方形O′DEF与△OBC重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．①求S与t之间的函数关系式；②在运动过程中，S是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由；（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（－1，0），|OC|＝3|OA|，∴C（0，－3）∵抛物线y＝ax2－2ax＋c经过A、C两点∴a＋2a＋c＝0c＝－3解得a＝1b＝－3∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3（2）直线BC的函数表达式为y＝x－3（3）①设D（m，－2），则E（m－2，－2）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时有－2＝m－3，∴m＝1正方形ODEF的边EF运动到与OC重合时m＝2当正方形ODEF的顶点E运动到直线BC上时有－2＝(m－2)－3，∴m＝3BOCAxyP图2BOCAxyDEF图1BO′CAxyDEFOGBO′CAxyDEFOGHI数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————3在y＝x－3中，当y＝0时，x＝3，∴B（3，0）当正方形ODEF的顶点F运动到与点B重合时有m＝3＋2＝5当0＜t≤1时，重叠部分为矩形OGDO′S＝2t当1＜t≤2时，重叠部分为五边形OGHIO′HD＝ID＝t－1S＝S矩形OGDO′－S△HID＝2t－12(t－1)2＝－12t2＋3t－12当2＜t≤3时，重叠部分为五边形FEHIO′S＝S正方形O′DEF－S△HID＝22－12(t－1)2＝－12t2＋t＋72当3＜t≤5时，重叠部分为△FKBFB＝FK＝2－(t－3)＝5－tS＝12(5－t)2＝12t2－5t＋252②当t＝2秒时，S有最大值，最大值为72（4）存在．M1（－2－1，0），M2（2－1，0）M3（3－6，0），M4（3＋6，0）提示：如图54．（辽宁本溪）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH＝90°，EF∥HG，EF＝EH＝1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终．．重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K．当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的t值．BACO(E)D(F)HGxyA′KBACOM(E)D(F)HGxyBO′CAxyDEFOHIBO′CAxyDEFOKBOCAxyPM3M1N1N2N3M4N4数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————4解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点B（－1，0）、C（3，0）∴a－b＋3＝09a＋3b＋3＝0解得a＝－1b＝2∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3（2）过点F′作F′N⊥OD轴于点N，延长E′H′交x轴于点P∵点M是点B绕O点顺时针旋转90°后得到的∴点M的坐标为（0，1）∵点A是抛物线与y轴的交点∴A点坐标为（0，3），∴OA＝3∵D（4，0），∴OD＝4∴AD＝32＋42＝5∵E′H′∥OM，E′H′＝OM＝1∴四边形MOH′E′是平行四边形（当EH不与y轴重合时）∵F′N∥OA，∴△F′ND∽△AOD，∴F′NAO＝NDOD＝F′DAD∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的∴F′D＝t，∴F′N3＝ND4＝t5，∴F′N＝35t，ND＝45t∵E′F′＝PN＝1，∴OP＝OD－ND－PN＝4－45t－1＝3－45t∵E′P＝F′N＝35t，E′H′＝1，∴H′P＝35t－1若平行四边形MOH′E′是矩形，则∠MOH′＝90°此时H′G′与x轴重合，∴F′N＝1∵35t＝1，∴t＝53即当t＝53秒时平行四边形MOH′E′是矩形若平行四边形MOH′E′是菱形，则OH′＝E′H′＝1在Rt△H′OP中，(3－45t)2＋(35t－1)2＝12BACOMDxy备用图BACOMDxyE′F′G′H′PNBACOMDxyE′F′H′N(G′)BACOMDxyA′EHGFK数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————5解得t＝3即当t＝3秒时平行四边形MOH′E′是菱形综上：当t＝53秒时平行四边形MOH′E′是矩形；当t＝3秒时平行四边形MOH′E′是菱形（3）t1＝3512秒，t2＝9512秒提示：∵KG∥AA′，∴当KG＝AA′＝2时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形当点E与点C重合、点F与点D重合时KG＝KH＋HG＝KH＋CD＋CHtan∠ADO＝2＋1＋43＝133∴移动t秒时，KG＝133－45t（直线HG在AA′下方）或KG＝45t－133（直线HG在AA′上方）由133－45t＝2，得t＝3512由45t－133＝2，得t＝951255．（辽宁模拟）将Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点F与点A重合），点A、E、F、B在同一直线上。∠ACB＝∠DEF＝90°，∠BAC＝∠D＝30°，BC＝8cm，EF＝6cm．如图2，△DEF从图1位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB下滑，DE与AC相交于点H，DF与AC相交于点G，设下滑时间为t（s）（0＜t≤6）．（1）当t＝___________s时，△GHD经过旋转后与△AFG能够组成菱形；（2）当t为何值时，点G在线段AE的垂直平分线上？（3）是否存在某一时刻t，使B、C、D三点在同一条直线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）设△DEF与△ABC的重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式以及S的最大值（不需要给出解答过程）．解：（1）63－6提示：由题意，∠A＝∠AGF＝∠DGH＝∠D＝30°ABDCE(F)图1ABDGCE图2HFABC备用图BACOMDxyA′KEFHGAEDFGHAEDFGH数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————6若△GHD经过旋转后与△AFG能够组成菱形则AG＝DG，即3t＝12－t∴t＝63－6（2）连接EG∵点G在线段AE的垂直平分线上∴AG＝EG，∴AE＝2AG·cos30°＝3AG＝3AF∴t＋6＝3t，∴t＝3（3）假设存在存在某一时刻t，使B、C、D三点在同一条直线上∵∠BFD＝∠B＝60°，∴△BFD是等边三角形∵DE⊥BF，∴BE＝EF，BF＝2EF＝12∵AF＋BF＝AB＝2BC∴t＋12＝16，∴t＝4（4）S＝－312t2＋23t＋63（0＜t≤6）－334t2＋103t－183（6＜t≤8）－34t2＋23t＋143（8＜t≤10）34t2－83t＋643（10＜t≤16）0（t＞16）S的最大值为463356．（辽宁模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋152（a≠0）经过A（－3，0），B（5，0）两点，点C为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向终点D匀速运动，过点P作PM⊥CD，交BC于点M，以PM为一边向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交x轴于点E．设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形QEBR为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．ONyxADEBCRQPMABCEDFGHABCEDFGHABCEDFGKABCEDFGKLABCEDFGL数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————7解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋152（a≠0）经过A（－3，0），B（5，0）两点∴9a－3b＋152＝025a＋5b＋152＝0解得：a＝－12b＝1∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋152（2）①∵y＝－12x2＋x＋152＝－12(x－1)2＋8，∴C（1，8）∴CD＝8，OD＝1，BD＝4又∵PM⊥CD，CD⊥AB，∴PM∥AB∴Rt△CPM∽Rt△CDB∴PMDB＝CPCD，即PM4＝t8，∴PM＝12t∵四边形PDEM为矩形，∴DE＝PM＝12t∴OE＝1＋12t，即点E的横坐标为1＋12t∴点N的横坐标为1＋12t若点N落在抛物线上，则点N的纵坐标为－12(1＋12t)2＋(1＋12t)＋152∴NE＝－12(1＋12t)2＋(1＋12t)＋152＝－18t2＋8∵CP＝t，PD＝ME，∴ME＝8－t∴NM＝NE－ME＝－18t2＋8－(8－t)＝－18t2＋t∵四边形PMNQ是正方形，∴PM＝NM∴12t＝－18t2＋t，即t1＝0（舍去），t2＝4∴当t＝4秒时，点N落在抛物线上②由于QR∥EB，要使四边形QEBR为平行四边形，只需QR＝EB∵Rt△CQR∽Rt△CDB，∴QRDB＝CQCD∵CQ＝CP－QP＝CP－PM＝t－12t＝12t