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§4.2微积分基本定理学习目标思维脉络1.通过实例能直观了解微积分基本定理.2.能利用微积分基本定理求基本函数的定积分.3.了解导数与定积分的关系.4.能在具体的应用中体会微积分基本定理的作用和意义.微积分基本定理微积分基本定理:如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F'(x),则有𝑏𝑎f(x)dx=F(b)-F(a).定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式,通常称F(x)是f(x)的一个原函数.在计算定积分时,常常用符号F(x)|𝑎𝑏来表示F(b)-F(a),于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作𝑏𝑎f(x)dx=F(x)|𝑎𝑏=F(b)-F(a).温馨提示1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接求积分时,需考虑用定积分的几何意义来解决.2.利用微积分基本定理求定积分𝑏𝑎f(x)dx的关键是找出使F'(x)=f(x)的函数F(x).通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x).3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.做一做定积分10(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1解析:因为(x2+ex)'=2x+ex,所以10(2x+ex)dx=(x2+ex)|01=(1+e1)-(0+e0)=e.答案:C探究一探究二探究三探究一已知导函数求原函数要求一个函数的原函数,要先预测什么函数的导数会出现关于f(x)的式子,再经过调整求出F(x),而求定积分时,只需求F(x)中最简单的一个就可以了.典例提升1下列函数f(x)是F(x)的导数,求F(x).(1)f(x)=x2;(2)f(x)=sinx;(3)f(x)=1𝑥;(4)f(x)=2x.思路分析:先预测某个函数的导数出现f(x),再对系数进行调整得F(x).探究一探究二探究三解:(1)∵(x3)'=3x2,∴x2=13𝑥3',∴F(x)=13x3+c(c为常数).(2)∵(cosx)'=-sinx,∴sinx=(-cosx)',∴F(x)=-cosx+c(c为常数).(3)∵(lnx)'=1𝑥,∴F(x)=lnx+c(c为常数).(4)∵(2x)'=2xln2,∴2x=2𝑥ln2',∴F(x)=2𝑥ln2+c(c为常数).探究一探究二探究三探究二利用微积分基本定理求函数的定积分1.求𝑏𝑎f(x)dx一般分为两步:(1)求f(x)的原函数F(x);(2)计算F(b)-F(a)的值.2.求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.典例提升2求下列定积分:(1)-1-2(2+x2)2dx;(2)41𝑥+1𝑥dx;(3)ππ3cos𝑥-π6dx.思路分析:将被积函数适当变形,确定原函数,再运用微积分基本定理求解.探究一探究二探究三解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,又15𝑥5+43𝑥3+4𝑥'=x4+4x2+4,∴-1-2(2+x2)2dx=-1-2(x4+4x2+4)dx=15𝑥5+43𝑥3+4𝑥|-2-1=29315.(2)∵𝑥+1𝑥=𝑥+1𝑥=𝑥12+𝑥-12,又23𝑥32+2𝑥12'=𝑥12+𝑥-12,∴41𝑥+1𝑥dx=41(𝑥12+𝑥-12)dx=23𝑥32+2𝑥12|14=23×432+2×412−23×1+2×1=203.(3)∵cos𝑥-π6=32cosx+12sinx,∴ππ3cos𝑥-π6dx=ππ332cos𝑥+12sin𝑥dx=32ππ3cosxdx+12ππ3sinxdx=32sinx|ππ3−12cosx|ππ3=-32sinπ3−12cosπ-cosπ3=-34+12+14=0.探究一探究二探究三点评求导与微积分基本定理在一定程度上可以理解为互为逆运算,它们的联系就是常见函数的导数公式,所以要熟记这些公式才能更好地解决定积分问题.探究一探究二探究三变式训练1已知f(a)=10(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解:∵10(2ax2-a2x)dx=23𝑎𝑥3-12𝑎2𝑥2|01=23a-12a2,∴f(a)=23a-12a2=-12𝑎2-43𝑎+49+29=-12𝑎-232+29.∴当a=23时,f(a)的最大值为29.探究一探究二探究三探究三几类特殊被积函数的定积分1.对于直接用微积分基本定理不易求解的题目,转化为用定积分的几何意义求解,不仅简洁可行,而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系,因此,充分把握定积分的几何意义,也是学好本节内容的关键.2.对于被积函数是分段函数的定积分,通常是依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和.要注意各段定积分的上、下限的取值区间.3.对于较复杂的被积函数,要先化简,再求定积分.若是计算𝑏𝑎|f(x)|dx,需要去掉绝对值符号,这时要讨论f(x)的正负,转化为分段函数求定积分.探究一探究二探究三典例提升3求下列定积分.(1)3-216+6𝑥-𝑥2dx;(2)若f(x)=𝑥2,𝑥≤0,cos𝑥-1,𝑥0,求1-1f(x)dx;(3)π201-sin2𝑥dx.思路分析:由于被积函数不是基本初等函数,因此,需要先变换被积函数,再求定积分.探究一探究二探究三解:(1)设y=16+6𝑥-𝑥2,即(x-3)2+y2=25(y≥0),∵3-216+6𝑥-𝑥2dx表示在区间[-2,3]上,x轴上方四分之一圆的面积,∴3-216+6𝑥-𝑥2dx=25π4.(2)1-1f(x)dx=0-1x2dx+10(cosx-1)dx=13x3|-10+(sinx-x)|01=-23+sin1.探究一探究二探究三(3)π201-sin2𝑥dx=π20(sin𝑥-cos𝑥)2dx=π20|sinx-cosx|dx=π40|sinx-cosx|dx+π2π4|sinx-cosx|dx=π40(cosx-sinx)dx+π2π4(sinx-cosx)dx=(sinx+cosx)|0π4-(cosx+sinx)|π4π2=22-2.探究一探究二探究三变式训练2已知f(x)=2𝑥+1,𝑥∈[-2,2],1+𝑥2,𝑥∈(2,4],若3𝑘3f(x)dx=40,求实数k的值.解:当-2≤k≤2时,3𝑘f(x)dx=2𝑘(2x+1)dx+32(1+x2)dx=(x2+x)|𝑘2+𝑥+𝑥33|23=(4+2)-(k2+k)+(3+9)-2+83=403-(k2+k)=403.所以k2+k=0,解得k=0或k=-1.探究一探究二探究三当2k≤3时,3𝑘f(x)dx=3𝑘(1+x2)dx=𝑥+𝑥33|𝑘3=(3+9)-𝑘+𝑘33=403.即k3+3k+4=0,k3+k2-k2+3k+4=0,所以(k+1)(k2-k+4)=0,所以k=-1.又因为2k≤3,所以k=-1舍去.综上所述,k=0或k=-1为所求.123451.计算π20sin𝑥2+cos𝑥22dx=()A.π2B.π2+1C.-π2D.0解析:∵sin𝑥2+cos𝑥22=sin2𝑥2+2sin𝑥2cos𝑥2+cos2𝑥2=1+sinx,∴π20sin𝑥2+cos𝑥22dx=π20(1+sinx)dx=x|0π2+(-cosx)|0π2=π2+1.答案:B123452.若10(2x+k)dx=2-k,则实数k的值为()A.12B.-12C.1D.0解析:∵10(2x+k)dx=2-k,∴x2|01+kx|01=2-k,∴1+k=2-k,∴k=12.答案:A123453.若𝑎-𝑎(2x-1)dx=-8,则a=.解析:∵𝑎-𝑎(2x-1)dx=-8,∴(x2-x)|-𝑎𝑎=-8,∴(a2-a)-(a2+a)=-8,∴a=4.答案:4123454.π20sin2𝑥2dx=.解析:π20sin2𝑥2dx=π2012-12cos𝑥dx=12𝑥-12sin𝑥|0π2=π4−12.答案:π4−12123455.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(1)=4,f'(1)=1,10f(x)dx=316,求f(x).解:由10f(x)dx=10(ax2+bx+c)dx=316,得𝑎3+𝑏2+c=196,①又f(1)=a+b+c=4,②f'(1)=2a+b=1,③由①②③解得a=-1,b=3,c=2,∴f(x)=-x2+3x+2.