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数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验四矩阵的运算（一）投入产出分析一．实验目的1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。二．问题描述设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表产出农业制造业服务业外部需求总产出投入农业15203035100制造业301045115200服务业2060070150初始投入3511075总投入100200150根据表回答下列问题：（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?三.实验过程1．问题（1）的求解（1）求直接消耗矩阵A根据直接消耗的计算公式aij=xij/xj和各部门中间需求;xnan运行如下代码可得直接消耗系数表。X=[152030;301045;20600];X_colsum=[100200150];X_rep=repmat(X_colsum,3,1)A=X./X_rep运行结果为：A=0.15000.10000.20000.30000.05000.30000.20000.30000（2）求解根据公式X=(I-A)-1y在运行如下代码y=[50;150;100];n=size(y,1);W=eye(n)-A;X=W\y运行结果为X=139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056,208.1377亿元。2．问题2求解设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)-(I-A)-1y=(I-A)-1Δy利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB代码可得问题的结果：dx=inv(W)运行结果:dx=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。四．实验总结投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。（二）Hill密码的加密、解密与破译一、实验目的1.复习线性代数,矩阵,线性空间与线性变换等概念和运算.2.熟悉Hill密码体制的加密,解密和破译过程.3.Hill密码体制的加密,解密和破译过程的MATLAB编程实践.二、问题描述对明文为“MrHillmadethiscode”,利运用不同的密匙矩阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。三．实验过程（1）模型建立于问题分析简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：AB…YZ空格句号122526027表2-126个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系设明文为M=（m1,m2,…,mi）T，密匙矩阵为可逆的lxl的方阵，则经过线性变换得到密文C=EK（M）=（c1c2…cI）T，其中C1=(k11m1+k12m2+…+k1lml)mod28,C2=(k21m1+k22m2+…+k2lml)mod28,………….Cl=(kl1m1+kl2m2+…+kllml)mod28,或写成矩阵形式C=（KM）mod28,其中C=（C1，C2，…，Cl）T，M=（m1，m2，…，ml）T，K=(kij)lxl解密得明文M=（K-1C）mod28注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、或小数。当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵K-1的元素是整数。若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。（2）加密对明文为“MrHillmadethiscode。”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：.139130194M=181212005012483278059150为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：4x8yK1=12169,IK1I=1,364621138利用如下的MATLAB代码可求得密匙矩阵K1的行列式：symsxy;K=[4,x,8,y;12,1,6,9;3,6,4,6;2,11,3,8];det_K=det(K)运行结果：det_K=-760-105*x+187*y可知二元一次方程为-760-150x+187y=1，即105x-187y=-761.下面利用辗转相除法求一整数解。设u=x,v=-y,得105u+187v=-761对上式辗转相除：187=1x105+82105=1x82+2382=3x23+1313=1x10+310=3x3=13=3x3=0从而得到187=111131111131311105101010101010100=187571=Q11053200,即1=Q-1187=-32571870105105-187105也即105x57+187x(-32)=1两边同时乘以-761，得105x(-43377)+187x24352=-761故u=-43377,v=24352为一个特解，从而u=-43377-187t,v=24352+105t,t为整数故而x=-43377-187t,y=-24532-105t,t为整数不妨取t=-232,可得x=7,y=8.从而密匙矩阵可取为4788K1=12169364621138以上过程可采用如下的MATLAB代码实现;symst;Q=[11;10]*[11;10]*[31;10]*[11;10]*[11;10]*[31;10]*[31;10]S=[187;105]Q*[1;0]Q_inv=inv(Q)uv0=[-761*Q_inv(1,2)-761*Q_inv(1,1)]gs=gcd(S(1),S(2));u=uv0(1)-S(1)/gs*t;v=uv0(2)+S(2)/gs*t;u0=uv0(1)-S(1)/gs*(-232);v0=uv0(2)+S(2)/gs*(-232);x0=u0,;y0=-v0;于是将要发出的信息乘以K1变成“密码”后发出：4788139130194（K1M）mod28=12169181212005364601248327211388059150182019242415C=2224291719277710191081858274对照表2-1可知接受者接到的密文是”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”.(3)解密接收者收到信息”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”后，运用事先约定的密匙矩阵K1的逆矩阵K-1解密，从密码中恢复明文，当K-1得元素出现负整数，则加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28可得解密的密匙矩阵K2根据表2-1，反过来查表，即可得明文，解密正确。给定密匙矩阵，利用如下代码可求得问题的解:M=[139130194;181212005;01248327;8059150];K1=[4788;12169;3646;21138];det(K1)C=mod(K1*M,28)K1_inv=inv(K1)K1_inv=round(K1_inv);K2=mod(K1_inv,28)M=mod(K2*C,28)ans=1.0000C=1820192424152224291719277710191081858274K1_inv=-112.0000-34.0000371.0000-128.0000-105.0000-32.0000348.0000-120.0000-39.0000-12.0000130.0000-45.0000187.000057.0000-620.0000214.0000K2=0227127241220171618111912418M=139130194181212005012483278059150此矩阵与原矩阵相符，解密成功。现依照上面步骤取另一个可逆矩阵K2，来作为密匙为求出合适的密钥矩阵K2，在一个4*4阶的矩阵中，任设二元素的值为x，y，其余元素给出具体的非负整数数字，并令其行列式的值等于1或-1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取1x2yK2=3169,|K2|=1.36462738利用如下的代码可求得密钥矩阵K2行列式：symsxy;K=[1,x,2,y;3,1,6,9;3,6,4,6;2,7,3,8];det_K=det(K)运行结果：det_K=21*x-23*y+62可知二元一次方程为21x-23y+62=1，即21x+61=23y下面利用枚举法求一整数解，代码如下：x=1;whilemod(21*x+61,23)~=0x=x+1;endxy=(21*x+61)/23运行结果：x=19y=20故密钥矩阵（发送者和接受者事先都知道的矩阵）可取为119220K2=316936462738于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以K2变成“密码”后发出：(K2M)mod28=119016171317272591411277710191020261122712=C对照表5-4可知接受者收到的密文是“kg.ti.gzygapijlqns.mkjl”.3．解密接受者收到信息“kg.ti.gzygapijlqns.mkjl”后，运用事先约定的密钥解密，即用K2-1=-112-54-271544211051-1028742211-423-23-11-56112从密文中恢复明文。由于K2-1的元素出现负整数，故把它的每一个元素加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28.即取K=0291221102310314152551700139130194(KC)mod28=181212005=M.012483278059150以上可有以下代码实现M=[139130194;181212005;01248327;8059150];K1=[119220;3169;3646;2738];det(K1)C=mod(K1*M,28)K1_inv=inv(K1)K1_inv=round(K1_inv);K=mod(K1_inv,28)M=mod(K2*C,28)运行结果ans=1.000C=119016171317272591411277710191020261122712K1_inv=-112-54-271544211051-1028742211-423-23-11-56112K=0291221102310314152551700M=139130194181212005012483278059150根据表5-4，反过来查表，即可知得明文“mrhillmadethiscode.”解密正确。四．实验总结Hill密码是基于矩阵的线性变换而设计的一种密码。Hill密码的思想比较简单，其最大的好处是隐藏了字符的频率信息，使得传统的通过字频来破译密文的方