3.1达朗贝尔公式

1)()]([)()]([)()()(xuxufxvxvfdttfdxdxvxu)()](,[)()](,[),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxxdttxfxxx)()(),(两个求导公式1关于一元函数含参变量积分的求导公式2关于二元函数含参变量积分的求导公式2第三章行波法与积分变换法本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法(或达朗贝尔解法)，二是积分变换法。行波法只能用于求解无界区域内波动方程的定解问题。虽有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界区域，但对于有界区域也能应用。33.1达朗贝尔公式.波的传播3.1.1弦振动方程的达朗贝尔解法如果我们所考察的弦线长度很长，而我们需要知道的又只是在较短时间且离开边界较远的一段范围内的振动情况，那么边界条件的影响就可以忽略。不妨把所考察弦线的长度视为无限，而需要知道的只是有限范围内的振动情况。此时，定解问题归结为如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(1)(2)4),0,(),(2txtxfuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(1)(2)对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件都是线性的，所以叠加原理同样成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)),0,(),(2txtxfuauxxtt0)0,(,0)0,(xuxut(5)(6)),(),(21txutxuu即如果和分别是下述初值问题和的解，则是原问题(1)(2)的解。5,atx,atx,2x.2at),(uuautxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)首先我们考察问题(3)(4).通过自变量变换求解。为此，令(7)其逆变换为(8)用记新的未知函数，则6,atx,atx),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)(7)uxtxxxuuu,uu)(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用复合函数微分法则，得到同理可得(9)(10)将(9)(10)代入方程(3)化简即得7,atx,atx),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)(7)将(9)(10)代入方程(3)化简即得.0u),()(),(gfugf,(11)方程(11)可以通过积分法直接求解。先关于积分一次，积分一次，便可得到方程(11)再关于的通解为(12)其中都是具有二阶连续导数的任意函数。再将自变量变换(7)代入(12)则可得8.,gf),()()(xxgxf),()()(xxgaxfa0xc,)())()((0xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)方程(3)的通解可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)下面，我们利用初始条件(4)来确定通解(13)中的任意函数将(4)代入(13)得(14)(15)再将(15)式两边积分得(16)其中是任意一点，而是积分常数。9),()()(xxgxf,)(1)()(0xxdaacxgxf),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)方程(3)的通解可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(14)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由(14)和(16)变形得(17)把(17)代入通解式(13)得初值问题(3)(4)的解102)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)方程(3)的通解可表示为).()(),(atxgatxftxu(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)这种求解方法称为达朗贝尔解法。(18)这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称达朗贝尔解。113.1.2达朗贝尔解的物理意义)(atxf和的两个函数之和).()(),(atxgatxftxu(13)),(1atxfut)(atxg),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)从通解(13)式可见，自由弦振动方程的解，可以表示成形如通过它们可以清楚地看出波动传播的性质。先考察(19)显然它是方程(3)的解。给以不同的值，就可以看出弦在各个时刻相应的振动状态。123.1.2达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)),(1atxfu0t),()0,(1xfxu),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)先考察(19)在时，它对应于初始时刻的振动状态(相当于弦在初始时刻各点的位移状态)，如图3.1实线所示xuO)(1xfu)0(t1x2x图3.1133.1.2达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)),(1atxfu0t),(),(001atxftxu),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)先考察(19)经过时间后，在它相当于原来的图形xuO)(1xfu)0(t)(01atxfu)(0tt1x01atx2x02atx),(ux平面上，)(1xfu向右平移了一段距离,0at图3.1143.1.2达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)xuO)(1xfu)0(t)(01atxfu)(0tt1x01atx2x02atx)(atxfa随着时间的推移，这个图还将不断地向右移动，这说明当方程(3)的解表示成的形式时，振动的波形是以常速度向右传播，图3.1153.1.2达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)xuO)(1xfu)0(t)(01atxfu)(0tt1x01atx2x02atx)(atxg)(atxfa因此，由函数右传播波。的解，称为左传播波它描述的振动波形是以常速度向左传播。所描述的振动规律，称为同样，形如图3.1163.1.2达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)xuO)(1xfu)0(t)(01atxfu)(0tt1x01atx2x02atxa由此可见，通解(13)表示弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，正好是方程(3)中出现的常数其传播速度达朗贝尔解法又称为行波法图3.117练习用行波法求解下列定解问题0,0,0,2xatxtuauxxtt).(|),(|00thuxuxatx)(|0xuatx).()(),(atxgatxftxu)()2()0(xxgfx2).0()2()(fg解振动方程的通解为gf,其中都是具有二阶连续导数的任意函数。.,gf下面，我们利用边界条件来确定通解中的任意函数首先由条件令18)(|0thux)()()(thatgatfat)()()(gahf)0()2()(fah练习用行波法求解下列定解问题0,0,0,2xatxtuauxxtt).(|),(|00thuxuxatx).()(),(atxgatxftxu).0()2()(fg解振动方程的通解为利用条件令19)(),(gf)0()()(),(faatxaatxhtxu)0()2(fatx).()2()2(axathxatatx)0()2()()(fahf练习用行波法求解下列定解问题0,0,0,2xatxtuauxxtt).(|),(|00thuxuxatx).()(),(atxgatxftxu).0()2()(fg解振动方程的通解为将代入通解公式即得定解问题的解为20),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)3.1.3依赖区间、决定区域和影响区域),(txx),(txx],[atxatx],[atxatx),(tx初值问题(3)(4)的解在一点的数值与初值条件在轴上哪些点的值有关？从达朗贝尔公式(18)可以看到，解在点的数值仅依赖于轴的区间上的初值条件，而与其他点上的初值条件无关，这个区间称为点的依赖区间。21),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)3.1.3依赖区间、决定区域和影响区域),(txxa1它是过点分别作斜率为轴所交截得的区间，的直线与如图3.2所示。Oxtatxatx),(tx依赖区间图3.222Oxt1x2xatxx1atxx2),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)3.1.3依赖区间、决定区域和影响区域0t],,[21xx1xa1,1atxx2x,2atxx],[21xx考虑初始轴上的一个区间过点作斜率为的直线a1过点为的直线作斜率a1过点为的直线它们和区间一起构成一个三角形区域，如图3.3所示。图3.323Oxt1x2xatxx1atxx2),0,(2txuauxxtt)()0,(),()0,(xxuxxut(3)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)3.1.3依赖区间、决定区域和影响区域),(tx],[21xx],[21xx区域中的数值完全由区间此三角形区域中任一点图3.3的依赖区间都落在区间内部，因此，解在三角形上的初值条件决定，而与此区间外的初值条件无关。24Oxt决定区域1x2xatxx