第一章222分层抽样与系统抽样

北师大版数学·必修3返回导航上页下页2.2分层抽样与系统抽样北师大版数学·必修3返回导航上页下页考纲定位重难突破1.理解、掌握分层抽样、系统抽样．2.会用分层抽样、系统抽样从总体中抽取样本．3.了解三种抽样方法的联系与区别.重点：两种抽样方法的步骤和使用范围．难点：1.三种抽样方法的选择．2.两种抽样方法的具体应用.北师大版数学·必修3返回导航上页下页01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业北师大版数学·必修3返回导航上页下页[自主梳理]1．分层抽样将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为．2．系统抽样系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照抽取第一个样本．然后按(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫或．所占比例类型抽样简单随机抽样相同间隔等距抽样机械抽样北师大版数学·必修3返回导航上页下页[双基自测]1．某单位员工分为老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了更好地调查他们的健康情况，需从员工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是()A．分层抽样B．系统抽样C．抽签法D．随机数法解析：由于健康情况与年龄有密切关系，且已知员工按年龄分为三层，采用分层抽样比较合适．答案：A北师大版数学·必修3返回导航上页下页2．在一次有奖明信片的100000个有机会中奖的号码(编号00000～99999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是23的作为中奖号码，这是运用了________的抽样方法．解析：总体容量较大，抽取的个体间隔相等，符合系统抽样的特点．答案：系统抽样北师大版数学·必修3返回导航上页下页3．若总体中含有1645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．解析：因为N＝1645，n＝35，则编号后确定编号分为35段，且k＝Nn＝164535＝47，则分段间隔k＝47，每段有47个个体．答案：354747北师大版数学·必修3返回导航上页下页探究一分层抽样[典例1]某政府机关现有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施过程．北师大版数学·必修3返回导航上页下页[解析]因为机构改革关系到各种人的不同利益，故采用分层抽样方法为妥．(1)因为每个人的地位不一样，我们按类别分为3层．(2)计算总体的个数与样本容量的比：10020＝5.(3)按照样本容量的比例随机抽取各层应抽取的样本．因为10020＝5，所以105＝2，705＝14，205＝4.所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(4)因副处以上干部与工人人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．北师大版数学·必修3返回导航上页下页1．如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．2．在实际操作中，应先计算出抽样比k＝样本容量总体容量，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝样本容量总体容量×该层个体数目．北师大版数学·必修3返回导航上页下页1．某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？北师大版数学·必修3返回导航上页下页解析：采用分层抽样的方法，抽样比为6012000.“很喜爱”的有2435人，应抽取2435×6012000≈12(人)；“喜爱”的有4567人，应抽取4567×6012000≈23(人)；“一般”的有3926人，应抽取3926×6012000≈20(人)；“不喜爱”的有1072人，应抽取1072×6012000≈5(人)．因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．北师大版数学·必修3返回导航上页下页探究二系统抽样[典例2]某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到来到单位的平均用时，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样完成这一抽样？北师大版数学·必修3返回导航上页下页[解析]第一步由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于62462的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；第二步用随机数法从这些职工中抽取4人，不进行调查；第三步将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619；第四步在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号．每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．北师大版数学·必修3返回导航上页下页1．解决系统抽样问题的关键步骤：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体．但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．北师大版数学·必修3返回导航上页下页2．从某单位的2008名员工中，采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，试叙述抽样的步骤．解析：第一步，用随机数法抽取8个个体．第二步，采用随机的方式给剩余的个体编号1,2，…，2000.第三步，把2000名员工分为20组，每个组有100名员工，抽样距为100.第四步，在第一部分采用简单随机抽样抽取一个号码，比如66号．第五步，起始号加上间隔确定样本中的各个个体，如166,266,366，…，1966.北师大版数学·必修3返回导航上页下页探究三三种抽样方法的综合应用[典例3]已知某工厂共有20个生产车间，并且每个生产车间内的工人已经按随机方式编好了序号，假定该厂每车间工人数都相同．为了考查工人对技术水平的熟练程度，采取以下三种方式进行抽查：①从全厂20个车间中任意抽取一个车间，再从该车间中任意抽取20人，考查这20个工人的技术水平．②每个车间都抽取1人，共计20人，考查这20个工人的技术水平．③把工人按技术等级分成高级工、一级工、初级工三个级别，从中抽取100名工人进行调查(已知按技术等级分，该厂工人中高级工共150人，一级工共600人，初级工共250人)．北师大版数学·必修3返回导航上页下页根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽取样本的方法？(2)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．[解析](1)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．(2)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个车间中用抽签法任意抽取一个车间．第二步，从这个车间中按编号用随机数法或抽签法抽取20名工人，考查其技术水平．北师大版数学·必修3返回导航上页下页第二种方式抽样的步骤如下：第一步，在第一个车间中，用简单随机抽样法任意抽取某一工人，记其编号为x.第二步，在其余的19个车间中，选取编号为x的工人，共计20人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按技术水平等级分，其中高级工共150人，一级工共600人，初级工共250人，所以在抽取样本中，应该把全体工人分成三个层次．第二步，确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体的个数比为100∶1000＝1∶10，所以在每个层次抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即15,60,25.第三步，按层次分别抽取：在高级工中用简单随机抽样法取15人；在一级工中用简单随机抽样法抽取60人；在初级工中用简单随机抽样法抽取25人．北师大版数学·必修3返回导航上页下页解决此类问题的关键是灵活运用统计中的一些基本概念和基本方法，对照简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念得出抽样过程．三种抽样方法有各自的适用范围，在抽样时要分析实际情况，抓住总体的本质特点，灵活选择合适的方法，有时要综合运用几种不同的抽样方法．三种抽样方法，关系密切，对抽取样本来说，可谓异曲同工．北师大版数学·必修3返回导航上页下页3．为了考察某校的教学水平，对这个学校高三年级的部分学生的本年度考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相等)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；北师大版数学·必修3返回导航上页下页③把学生成绩分成优秀、良好、普通三个级别．从其中共抽取100名学生进行考察．(已知该校高三学生共1000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．北师大版数学·必修3返回导航上页下页解析：(1)上面三种抽取方式中，总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样；第二种方式采用的是系统抽样和简单随机抽样；第三种方式采用的是分层抽样和系统抽样．北师大版数学·必修3返回导航上页下页(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取1个班；第二步，从这个班中用简单随机抽样法抽取20名学生，考察其考试成绩．第二种方式抽样的步骤如下：第一步，在第1个班中，用简单随机抽样法抽取某一学生(其学号为a)．第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人．北师大版数学·必修3返回导航上页下页第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三层．第二步，确定各层抽取的人数，因为样本容量与总体的个体数的比为100∶1000＝1∶10，所以在每层抽取的个体数依次为15010，60010，25010，即15,60,25.第三步，按层次分别抽取，分别在优秀生、良好生、普通生中用系统抽样的方法各抽取15人、60人、25人．北师大版数学·必修3返回导航上页下页因选取抽样方法不当致误[典例]某校共有教师302名，其中老年教师30名，中年教师150名，青年教师122名．为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．[解析](1)把122名青年教师编号，利用随机数法剔除2个个体．(2)因为60300＝15，30×15＝6,150×15＝30,120×15＝24，所以可将老年教师30名，中年教师150名，青年教师120名编号后，运用随机数法，分别从中抽取6,30,24个个体，合在一起即为要抽取的60人样本．北