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晶体几何学理论基础对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。1、对称操作晶体学中的对称图形是通过对称操作来表征的。对称操作周期平移对称操作（晶体中）有公度的无公度的准周期平移对称操作（准晶体中）严格自相似准周期统计自相似准周期点对称操作旋转反映反伸1.1平移1.1.1平移对称的概念在传统晶体学中，平移对称仅仅是指周期的或有公度的平移对称，不承认5次或高于6次等旋转对称轴的存在，因为这些轴次与有公度发平移对称是不相容的。据此理论，俄罗斯科学家费德洛夫（ΦеЛоровЕС）于1889年完成了230个空间群的推导。周期平移是晶体学中最基本的对称操作。它通过平移操作使晶体中的某个点或图形在某些晶体学方向上做有规律的周期重复。晶体结构正是周期性平移操作的结果。图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A平移到C然后再平移至F。1.1.2空间点阵在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点，通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个点称为结点或点阵点。由两个平移矢量限定的区域叫做单位网格。在三维空间中，由3个单位矢量所限定的体积叫做单位晶胞。单位网格是一个平行四边形，而单位晶胞则是一个平行六面体。同一点阵可用不同的单位平移矢量套来描述。如图3.1表示，既可用AG和AB这一对矢量，也可用AH和AI这一对矢量来描述。对于同一点阵来说，可有多种晶胞选取方式，通常将3个最短的不共面的单位平移矢量限定的区域称为约化晶胞（简称约化胞）。单位平移符号用t表示，对于二维点阵，一般用a和b这两个平移矢量及其夹角来描述单位网格。根据两个单位矢量所构成的平行四边形的形状，二维点阵可分为5种网格。在三维点阵中，可用3个不共面的单位矢量a、b、c将三维点阵划分为平行六面体，平行六面体的顶点都落在点阵点上。这样的平行六面体称作单位晶胞。矢量a、b、c的长度及其相互间的夹角、、称为点阵参数或晶胞参数。如图3.4所示。由图可以看出：1.1.3点阵中结点、行列及面网的指标①点阵点结点（结点符号）②直线点阵指标及晶棱指标[uvw]③平面点阵指标（面网符号）(hkl)1.2旋转1.3反映一个点或者一个基本图案在空间通过反映进行重复的操作称为反映。如同用一面镜子来反射一个影像一样，因此反映平面被称为镜面。如同旋转轴一样，镜面的位置在一个结构中必须与点阵平面一致，只能出现在点阵平面处或者点阵平面之间的一半处，点阵平面在垂直于它的方向上必定存在有点阵行列。1.4反伸在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。1.5复合对称操作复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而复制出来。1.5.1螺旋旋转螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。1.5.2滑移反映包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。图3.15（b），用虚线表示一个与纸面垂直的对角滑移面，其滑移分量平行纸面称为水平滑移。除水平滑移外，还有垂直滑移和斜向滑移。另外，点线表示一个垂直的滑移面，其滑移分量垂直于纸面，点划线称为斜向滑移或对角线滑移，表示一个垂直的滑移面与纸面成不等于90º的角。1.5.3旋转反伸旋转反伸操作包括一个旋转轴和一个反伸中心。该旋转轴称为旋转反伸轴。旋转反伸轴的4种类型如图3.16所示。基本图案可以先旋转后反伸，也可以先反伸后旋转。其中1相当于i（反伸中心），2相当于m）（对称面），3相当于3次轴加反伸中心，6相当于3次轴加对称面，因此只有4是具有多利意义的旋转反伸轴。2.点群2.1点对称要素晶体外形上可能出现的对称要素称为点对称要素，包括对称中心、对称面、旋转轴及旋转反伸轴。这些对称要素的特点是在进行对称操作过程中至少有一点是不动的。二维空间的对称要素有：旋转点，2、3、4、6次轴；反映线，m。三维空间的对称要素：旋转轴，2、3、4、6次轴；反伸（对称）中心，i；镜（对称）面，m；旋转倒反轴，1、2、3、4、6。点对称要素组合的基本定律有：2.2二维点群二维点对称要素的组合称为二维点群，共有10个点群，4个晶系。2.3三维点群三维空间点对称操作中对称要素的组合所得到的对称群称为三维点群。点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。对称要素是旋转、反映、反伸（对称中心）和旋转反伸。圣佛利斯符号中C为循环点群，表示只有一个对称轴的点群。右下角的数字为旋转轴的轴次，如存在对称中心，在符号的右下角加字母i；如存在有与对称轴垂直的对称面，在符号的有下角家字母h；如有与对称轴平行的对称面时，在符号的右下角家字母v。D为二面体点群，表示只有对称轴的组合。右下角的数字表示其主轴的轴次，如有对称面与主轴平行，而与其余的轴斜交，在其右下角加字母d；如有对称面与主轴垂直，在其右下角家字母h。S为反伸轴群，其右下角的数字代表旋转反映轴的轴次。T为四面体群（四面体的对称轴的组合），O为八面体群（八面体的对称轴组合）。国际符号（HM符号）表示中，简单对称轴以轴次的数字表示；旋转反伸轴亦用轴次的数目表示，但在数字之上加“—”号；对称面以m表示；当镜面垂直4次轴时，写作4/m；而镜面包含（平行）4次轴时，则写出4mm。3、空间格子（点阵）晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”C：面心三维情况的晶胞：P：无心（原始的或素的）I：体心F：面心A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。R：菱面体按六方定向时的带心情况三斜晶系中不存在带心点阵。单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F都有。四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。三方、六方晶系有P及R两种点阵。立方晶系有P、I、F点阵。3.2布拉维点阵1866年布拉维按点群分类的原则得出布拉维晶格。只有在两个晶格的点群对称性及带心情况完全一致时，它们才被视为同一布拉维晶格类型。布拉维点阵的数目在一位情况下是1，二维情况下是5，三维情况下是14，四维情况下是64.布拉维点阵可用拓扑学方法及代数方法推导出来。布拉维点阵原理也适用于准晶体点阵空间。4、空间群4.1空间对称要素晶体微观结构的对称要素组合包括点对称操作、平移对称操作，而且对称要素的分布不局限于晶格结点上。这种分布于整个晶体空间的对称要素组合称为空间群。空间群对称要素中，除了旋转、反映、反伸外，还有螺旋轴及滑移面。4.2对称要素组合规律4.2.1由点阵的平移性推论由点阵的平移性可知：①旋转轴平行于点阵行列，同时垂直点阵平面。②某一结点有对称轴，所有的点阵点都有对称轴。③对称面平行于点阵平面，垂直于点阵行列。4.2.2两个间距为d的反映面组合两个间距为d的反映面组合将产生一垂直于它们的平移点列，其平移周期为2d，图3.20（a）。4.2.3两交角为90º的对称面，交线必为对称轴①相互垂直的两对称面交线为2次旋转轴。②对称面与竖直滑移面垂直时，产生2次螺旋轴，图3.20（b）。③两个竖直滑移面相垂直（滑移方向平行交线方向），交线为2次旋转轴，图3.20（c）。④反映面（或水平滑移面）与水平滑移面相交，在滑移方向的1/4t处（t为周期）产生2次螺旋轴，图3.20（d）、(e)。⑤两个滑移面之一是水平滑移面时，在水平滑移方向的1/4t处产生2次螺旋轴，图3.20（f）、（g）。4.2.4由带心点阵所派生的对称要素①底心点阵：（a）有垂直底心平面的反映面，就有与反映面平行的滑移面，相互间为1/4t，图3.20（h）。（b）若有竖直方向的滑移面，就有和它平行的n滑移面，相互间隔为1/4t，图3.20（i）。②侧心点阵：（a）有垂直于a轴方向的反映面m。则此m反映必包含有n滑移面。它们相互重合，图3.20（k）。③面心点阵：是三维的底心点阵，所以适用底心点阵的组合规律，通过组合可出现d滑移面。④体心点阵：（a）有对称面m，平行它的方向必有斜向滑移面n，它们相互间隔为1/4t，图3.20（l）。（b）有水平滑移面，必有平行它的竖直滑移面。它们相互间隔为1/4t，图3.20（m)。4.3平面群平面群是空间对称要素一切可能的组合在二维平面上的投影，共有17个平面群，如图3.21所示。以P2平面群为例，讨论其对称要素的组合过程。将图3.22（a）中2次旋转点对称要素配置到网格原点上，见图3.20（b）。进行平移对称操作的结果使网格的每个结点均配置了2次旋转点，图3.22（c），这样的配置引起了附加的2次旋转点。这些2次旋转点在图3.22（c）中是在晶胞的（0，1/2）、（1/2，0）及（1/2，1/2）处。将已配置了上述对称要素的晶胞进行二维方向的平移，其结果如图3.22（c）所示。此时，这个二维方向无限伸展的平面群即为P2。4.4.2等效点系等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可在X射线结晶学国际表上查到。4.4.3空间群表的说明与使用在国际表中，每个空间群图表占两页篇幅，其内容是：左页：标题第一行：①空间群的简略HM符号，单斜、正交、四方和六方晶系空间群的HM符号与晶轴的选取有关（表3.9）。②空间群的圣佛利斯符号，如C2/m的符号是C2h3。③空间群的点群的简略HM符号，如C2/m的点群的简略HM符号是2/m。将空间群的圣佛利斯符号右上角的序号去掉，就得其点群的圣佛利斯符号。④晶系的名称。标题第二行：①空间群的序号。②空间群的完全HM符号，如C2/m的完全符号C12/m1。③帕特逊对称性。某些空间群标题有三行，第三行的内容是原点选择，或是坐标轴定向和单胞选择。空间群的图示：标题之下的空间群图标出了对称要素的相对位置和取向，