3 晶格振动【固体物理】

第三章晶格振动和晶体的热学性质在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动0K下仍在振动－－零点能.由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为晶格振动.0cos[()]xyAtu0cos()yAt晶格振动是原子的热运动,对晶体热学性能起主要贡献比热、热膨胀和热传导等晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动都会涉及到大量原子的运动.所以,在处理过程中只能采取一些近似模型.先考虑一维情况，再推广到三维情况---简谐近似3.1一维单原子链模型假设考虑由N个相同的原子组成的一维晶格,原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.xn-2xn-1xnxn+1xn+2第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子a第n+2个原子xn表示序号为n的原子在t时刻偏离平衡位置的位移模型假设xn-2xn-1xnxn+1xn+2第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子a第n+2个原子表示在t时刻第n个和第n+1个原子的相对位移1nnxx设平衡时两个原子间的互作用势能为，()ua则产生相对位移后,相互作用势能变成1nnxx()ua将在平衡位置作泰勒级数展开()ua232323d1d1d(+)()()()d2d6daaauuuuauarrr上式第一项为常数，可取为能量零点第二项为零(f=0)当很小,即振动很微弱时,可保留到第三项---简谐近似（1）运动方程则2221d(+)()2dauuar()0uadduf22ddaur22ddaur－－恢复力常数2221d(+)()2dauuar---可见为简谐振动xn-2xn-1xnxn+1xn+21nnxx1()nnfxx只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等,第n个原子受到的力为11nnnnFxxxx2112ddnnnnnxmxxxxt第n个原子的运动方程为112nnnxxx对于每个原子都有一个这样类似的方程,方程数目和原子数目相同.11nnnnFxxxx（2）格波频率与波矢的关系以上方程组解的形式为enitqrnxAA为振幅为圆频率q为波矢简谐振动方程的解eitqnaA位相因子2112d2dnnnnxmxxxt方程数目和原子数目相同N如果第个原子和第n个原子的位相差为的整数倍,即n()qnaqna2π2πnqnqsas为整数etqninaAx-2πeeitnaqisAnx这表明第个原子和第n个原子的距离为的整数倍时,原子因振动产生的位移相等.n()nana2πq晶格中原子振动是以角频率为的平面波形式存在，eitqnanxA这种波称为格波.2πq格波的意义eitnaqnxA连续介质中的机械波格波方程晶体中的格波——格波和连续介质波具有完全类似的形式0cos[()]xyAtu[()]xituye()xitue(2π)xite()itqxe[]itnaqnxAe(3)晶格振动的色散关系2112d2dnnnnxmxxxteitnaqnxA将代入得[(1)]2[(1)]()e[ee2e]itnaqitnaqitnaqitnaqm2(1)(1)e[ee2e]inaqinaqinaqinaqm2[ee2]iaqiaqmcossiniei2[2cos()2]maq22[1cos()]aqm24[sin()]2aqm2sin2aqm几列波在媒质中传播，它们的频率不同，波长、波速亦不同。物理学中，把凡是与波长、波速有关的现象叫色散.---色散关系224[sin()]2aqm2π1uTqTq由色散关系式可画图如下:0mπ/aπ/a2π/a2π/aq光的色散：复色光分解为单色光形成光谱的现象2sin2aqm0mπ/aπ/a2π/a2π/aq(1)偶函数()()qq(2)周期函数2π()()qqsa注:(3)几个特殊点常放在一个周期中研究maxπ,2;qam当min0,0q当(4)波速sin22aquaqaqm格波的(相)速度不再是常数(与机械波不同)由于原子的不连续性.长波近似2sin222aqaqaqmmmpuam频率与波矢为线性关系.常数有连续介质中弹性波的特性2sin2aqm0mπ/aπ/a2π/a2π/aq2π0,qa连续介质中弹性波的特性Yq在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质()，格波可视为弹性波。aY--弹性模量–介质密度其波速为声速,故单原子链中传播的长格波叫声波.Ya/ma长波近似下格波aqmYu机械振动在弹性介质中传播形成的波称为弹性波(4)周期边界条件前面所得的运动方程只适用于无限长单原子链的情况但实际上晶体是有限大的，边界上（两端）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂.为解决这一问题，需要引入玻恩–冯.卡门边界条件.N个原子头尾相接形成环链,这时每个原子都是等价的.nnNxx[()]eeitnaqitnNaqAAe1iNaq所以2πNaqsnnNxx2πqsNa晶格振动波矢只能取分立的值,即是量子化的.为了保证xn的单值性,限制q在一个周期内取值ππqaa22NNs(1),(2),(3),,1,0,1,2,,2222NNNNs(共N个值)波矢q也只能取N个不同的值,波矢的数目=晶体原胞的数目即N个独立的格波，2πqsNa(1),(2),(3),,1,0,1,2,,2222NNNNs或者N个独立的振动模式(简振模)也即N个不同频率q3.2一维双原子链（1）运动方程大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子,这就是复式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM。相邻原子间距均为a，恢复力系数为。2n2n-12n+12n+22n-2mM(晶格常量为2a)质量为M的原子编号为2n-2、2n、2n+2、···质量为m的原子编号为2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2类似与求解一维单原子链的运动方程,可得222212122ddnnnnnxMxxxxt212122nnnxxx22121222212ddnnnnnxmxxxxt222212nnnxxx2121eitnaqnxA22eitnaqnxB即认为同种原子的振幅相同，只有位相上存在差别(2nq)，不同原子的振幅可以不同.2(2)(2)(2)(2)e[ee2e]itnaqitnaqaqitnaqaqitnaqMBAAB2ee2iaqiaqmABA（2）色散关系22212122d2dnnnnxMxxxt221222212d2dnnnnxmxxxt22eitnaqnxB2121eitnaqnxA将解代入2ee2iaqiaqMBAB2(2)(22)(2)(2)e[ee2e]itnaqaqitnaqaqitnaqitnaqaqmABBA2ee2iaqiaqMBAB2ee2iaqiaqmABA上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程欲使A，B有非零解，其系数行列式应为零，即:222cos2022cos0aqAMBmAaqB222cos2022cosaqMmaq222{()2cos2}mMmMmMaqmM推导略2cosaq122222cos2omMmMmMaqmM122222cos2AmMmMmMaqmM---光学支格波---声学支格波(1)偶函数(2)周期函数()()qq2π()()2qqsa注:oqπ2aπ2a2O2mA2Mππ22qaa在一个周期内0:q时AcousticsOptics222{()2cos2}mMmMmMaqmMoqπ2aπ2a2O2mA2M0:q时max2()2omMmMmin0A折合质量π:2qa时min2ommax2AM222{()2cos2}mMmMmMaqmM21cos(2)122aqaq2puamM2,AaqmM在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似,所以我们称之为声学波.声学波122222cos2AmMmMmMaqmM当波矢时,0q推导略级数展开oqπ2aπ2a2O2mA2M相邻原子的振幅之比对于声学支格波:22cos()2AAAaqBm22cos2AaqBm222cos2022cos0aqAMBmAaqBcos()0aq2AM由右图可知oqπ2aπ2a2O2mA2M0AAB所以220AmmM0AAB声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的.声学波当波矢时,0q22cos()12AAAaqBm2121eeittninaqxAA(2)2eeitnitaqnxBA长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动.因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动.当波矢时,0q21221eeitnaqintnAAxx(2)2eeitnitaqnxBA02mcos()0aq0oAB所以光学支格波，相邻原子振动方向是相反的.2cos()122()oaqmMmM对于光学支格波:22cos().2ooAaqBmoqπ2aπ2a2O2mA2M当波矢时,0q光学波212()21OAmMmMBmmMMMm0mAMB22cos().2ooAaqBm2cos()122()oaqmMmM长光学波，原胞的质心保持不动.所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动.光学波光学支格波，相邻原子振动方向是相反的.声学支格波，相邻原子振动方向是相同的.光学波声学波声学波光学波0q0q为了保证xn的单值性,限制q在一个周期内取值(3)周期边界条件由玻恩---卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：22()nnNxx2[2]eeitnaqitnNaqAA2e1iNaq有22πNaqsπqsNaππ22qaa(共有N个