第二章 控制系统的数学模型(第二讲)

10-7-20控制工程基础1第二讲第二章控制系统的动态数学模型10-7-20控制工程基础22.1基本环节数学模型的建立2.2数学模型的线性化2.3拉氏变换及反变换2.4传递函数以及典型环节的传递函数2.5系统函数方块图及其简化2.6系统信号流图及梅逊公式本章的主要内容10-7-20控制工程基础3控制系统的数学模型：描述控制系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。可分为：静态数学模型：在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。如已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。10-7-20控制工程基础4建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。系统数学模型既是分析系统的基础，又是综合设计系统的依据。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数(TransferFunction，tf)为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间(StateSpace，ss)为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。10-7-20控制工程基础51分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。如电学中的基尔霍夫定律，力学中的牛顿定律，热力学定律等。2实验法（系统辨识法）：人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。这种方法也称系统辨识。建立数学模型的方法：10-7-20控制工程基础6建立系统数学模型的一般步骤：分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列2.1.1质量-弹簧-阻尼系统机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。2.1基本环节数学模型的建立k1J11J12m31m32k122k121k231k232k31k32J3J2m2电动机减速器工作台+工件k1m1k121k122m2k231k232k31k32m31+m32系统1系统3系统2D1D2D3D10-7-20控制工程基础10􀂾机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：控制系统微分方程的列写质量2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础11控制系统微分方程的列写弹簧2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础12控制系统微分方程的列写阻尼2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础13机械平移系统2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础14机械平移系统式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础15弹簧——阻尼系统系统微分方程为一阶常系数微分方程。2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础16机械旋转系统2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础17机械旋转系统2.1.1质量—弹簧—阻尼系统10-7-20控制工程基础182.1.2电路网络10-7-20控制工程基础192.1.2电路网络10-7-20控制工程基础202.1.2电路网络10-7-20控制工程基础212.1.2电路网络10-7-20控制工程基础222.1.2电路网络10-7-202.1.3电枢控制式直流电动机10-7-202.1.3电枢控制式直流电动机10-7-20控制工程基础25对于较复杂系统，列写微分方程的一般步骤：划分环节,确定输入输出信号，考虑对每个环节列写一个方程。单输入、单输出系统的微分方程表示的数学模型的一般形式：每个环节列写微分方程,并考虑适当简化、线性化。对各环节方程联列，消除中间变量,最后得到只含输入变量、输出变量及参量的系统方程式。其中：为输出变量，为输入变量)(txo)(txi)()()()(1)1(1)(0txatxatxatxaononnono)()()()(1)1(1)(0txbtxbtxbtxbimimmimi（2-8）10-7-20控制工程基础26总结：物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态特性看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。10-7-20控制工程基础27总结：通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。10-7-20控制工程基础282.2非线性函数的线性化线性系统—用线性微分方程描述的系统。线性系统的性质—适用叠加原理，叠加原理的两重意义：1.具有可叠加性2.均匀性或齐次性叠加原理说明：1.两个外作用同时作用于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。10-7-20控制工程基础292.外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。10-7-20控制工程基础30具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法进行线性化处理。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。200''00'0))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxfy设非线性函数在x0处连续可微，则可将它在该点附近用台劳（Taylor)级数展开：0xy0yx0y=f(x)A设非线性函数，在其平衡状态工作点A，有00()yfx()yfx当时，有0xxx0yyy非线性函数的线性化10-7-20控制工程基础31则有为比例系数，即函数f(x)在x0点切线的斜率。))(()()(00'00xxxfxfxfyy0yyy0xxx令增量较小时略去其高次幂项，则有：0)('xxxfkykxk10-7-20控制工程基础32同样可在某工作点附近用台劳级数展开为：])(),())((),(2)(),([!21)](2),()(),([),(),(22012220102201021201021012120102202201010112010201021xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy略去二级以上导数项，并令两个变量的非线性函数的线性化12(,)yfxx1020(,)xx121020(,)(,)yfxxfxx10-7-20控制工程基础33输入力矩)(tTi)(to输出摆角m单摆质量l单摆摆长根据牛顿第二定律：)()(sin)(2tmltmgltTooi将非线性项osin在0o附近用台劳级数展开，当o很小时，可忽略高次项，得到近似的线性化方程：)()()(2tTtmgltmlioo例1单摆的微分方程数学模型的线性化：图2－6单摆olm)(tTi0'00(sin)1k000000sin(0)kk（2-9）（2-10）10-7-20控制工程基础34解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66。求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有例2试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。并求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。10-7-20控制工程基础35z-66=11(x-6)+6(y-11)即：z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为：z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y-66=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数%2501因此，线性化方程式为：)()(000yybxxazz11000yxzayyxx6000xyzbyyxx10-7-20控制工程基础36这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，在平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。系统线性化过程中，需注意的地方：(1)线性化是相应于某一额定工作点的，工作点不同，则所得的方程系数也往往不同。(2)变量的偏移愈小，则线性化精度愈高。(3)增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移到额定工作点处。(4)线性化只适用于没有间断点、折断点的单值函数。10-7-20控制工程基础37小结：1建立系统数学模型的常用的两种方法——分析法和实验法。2非线性数学模型的线性化。