考研数学一历真题()

考研数学一真题(1998---2012)1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)20112limxxxx=_____________.(2)设1()(),,zfxyyxyfx具有二阶连续导数,则2zxy=_____________.(3)设l为椭圆221,43xy其周长记为,a则22(234)Lxyxyds=_____________.(4)设A为n阶矩阵*,0,AA为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则*2()AE必有特征值_____________.(5)设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,eyxx所围成,二维随机变量(,)XY在区域D上服从均匀分布,则(,)XY关于X的边缘概率密度在2x处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx连续,则220()xdtfxtdtdx=(A)2()xfx(B)2()xfx(C)22()xfx(D)22()xfx(2)函数23()(2)fxxxxx不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()yyx在任意点x处的增量2,1yxyx且当0x时,是x的高阶无穷小,(0)y,则(1)y等于(A)2(B)(C)4e(D)4e(4)设矩阵111222333abcabcabc是满秩的,则直线333121212xaybzcaabbcc与直线111232323xaybzcaabbcc(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,AB是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA则必有(A)(|)(|)PABPAB(B)(|)(|)PABPAB(C)()()()PABPAPB(D)()()()PABPAPB三、(本题满分5分)求直线11:111xyzl在平面:210xyz上的投影直线0l的方程,并求0l绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面0x上的向量42242(,)2()()xyxyxyxxyAij为某二元函数(,)uxy的梯度,并求(,).uxy五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m体积为,B海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).kk试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式().yyv六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydzzadxdyxyz其中为下半平面222zaxy的上侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sinsinsinlim.1112xnnnnnn八、（本题满分5分）设正向数列{}na单调减少,且1(1)nnna发散,试问级数11()1nnna是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()yfx是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x使得在区间0[0,]x上以0()fx为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x上以()yfx为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()fx在区间(0,1)内可导,且2()(),fxfxx证明(1)中的0x是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz可以经过正交变换xyzP化为椭圆柱面方程2244,求,ab的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵,若存在正整数,k使线性方程组kxA0有解向量,α且1.kAα0证明:向量组1,,,kαAαAα是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTnnnnnnbbbbbbbbb试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnbybybybybybybybyby的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,XY相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量XY的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附:标准正态分布表221()e2tzxdtz1.281.6451.962.33()x0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t分布表{()()}pPtntnp0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tanxxxx=_____________.(2)20sin()xdxtdtdx=_____________.(3)24exyy的通解为y=_____________.(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,AB和C满足条件:1,()()(),2ABCPAPBPC且已知9(),16PABC则()PA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx是连续函数,()Fx是()fx的原函数,则(A)当()fx是奇函数时,()Fx必是偶函数(B)当()fx是偶函数时,()Fx必是奇函数(C)当()fx是周期函数时,()Fx必是周期函数(D)当()fx是单调增函数时,()Fx必是单调增函数(2)设21cos0()()0xxfxxxgxx,其中()gx是有界函数,则()fx在0x处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设01()12212xxfxxx,01()cos,,2nnaSxanxx其中102()cosnafxnxdx(0,1,2,)n,则5()2S等于(A)12(B)12(C)34(D)34(4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则(A)当mn时,必有行列式||0AB(B)当mn时,必有行列式||0AB(C)当nm时,必有行列式||0AB(D)当nm时,必有行列式||0AB(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布(0,1)N和(1,1)N,则(A)1{0}2PXY(B)1{1}2PXY(C)1{0}2PXY(D)1{1}2PXY三、(本题满分6分)设(),()yyxzzx是由方程()zxfxy和(,,)0Fxyz所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dzdx四、(本题满分5分)求(esin())(ecos),xxLIybxydxyaxdy其中,ab为正的常数,L为从点(2,0)Aa沿曲线22yaxx到点(0,0)O的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)yxx二阶可导且()0,(0)1.yxy过曲线()yyx上任意一点(,)Pxy作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S,区间[0,]x上以()yyx为曲线的曲边梯形面积记为2S,并设122SS恒为1,求曲线()yyx的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x时,22(1)ln(1).xxx七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S为椭球面222122xyz的上半部分,点(,,),PxyzS为S在点P处的切平面,(,,)xyz为点(0,0,0)O到平面的距离,求.(,,)SzdSxyz九、(本题满分7分)设40tan:nnaxdx(1)求211()nnnaan的值.(2)试证:对任意的常数0,级数1nnan收敛.十、(本题满分8分)设矩阵153,10acbcaA其行列式||1,A又A的伴随矩阵*A有一个特征值0,属于0的一个特征向量为(1,1,1),Tα求,,abc和0的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,TB为B的转置矩阵,试证TBAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩().rnB十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(,)XY联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XY1y2y3y()iiPXxp1x182x18()ijPYyp161十三、(本题满分6分)设X的概率密度为36()0()0其它xxxfx,12,,,nXXX是取自总体X的简单随机样本(1)求的矩估计量ˆ.(2)求ˆ的方差ˆ().D2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)1202xxdx=_____________.(2)曲面2222321xyz在点(1,2,2)的法线方程为_____________.(3)微分方程30xyy的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120xaxax无解,则a=_____________.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()PA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx、()gx是恒大于零的可导函数,且()()()()0fxgxfxgx,则当axb时,有(A)()()()()fxgbfbgx(B)()()()()fxgafagx(C)()()()()fxgxfbgb(D)()()()()fxgxfaga(2)设22221:(0)