近世代数课件(全)--2-9 群的同态、同构

2020/2/17近世代数第二章群论§9群同态、同构2020/2/17一、定义1GGGG若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；GGGG若存在群到群的同构映射，则称群与群同构.AAsA假定是集合到的一个满射，(){()|}ssaas，称为s在之下的象；sA，称1(){|(),}ssaaaas为s在之下的逆象.为2020/2/17二、群同态性质GGHG()HH群与同态，是到的同态满射，则GG(1)11(),()().eeaa(2)(3)HG()HHG(4)HG1()HHGG(5)HG1()HHG定理1(6)是循环群，则GG也是循环群.2020/2/17定理2两个代数系统同态，GG与若G是群，则G也是群.证明：~GG，G是群，有结合律，则G也有结合律；()()()(),eaeaa是同态满射，有,,.()aGaGstaa()ee是G的左单位元；11()()()(),aaaaee1()a()aa是的左逆元G也是群.2020/2/17例1证明{0,1,2,3}G()mod4abab关于做成群.(,)GZ证明：取:mod4,()xxxZ是G到G的同态满射，~GGG而是群，因此G是群.2020/2/17例2G:是GG到的同态满射，~.GG{全体正负奇数}，{1,1}G代数运算均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1G是群，而G不是群.2020/2/17三、同态核~GG()ee1()?ee(,)GZ{0,1,2,3},G()mod4abab(0)0mod40e1(){,8,4,0,4,8,}e思考题1：，，那么例1与同态:mod4,()xxxZ2020/2/17定义3GGeGe1(){|.()}KereaGae设是群到群的同态映射,是的单位元.称在中的所有的核,记作G逆象组成的集合为同态映射例3(,),(,)GZGR:(1)nn是GG到的同态映射Ker{全体偶数}2020/2/17引理1GG{}.Kere若是群到群的同态映射是单射，则证明：,()()()()()aGaeaeaee,()()nKernee而是单射,{}.neKere()()ab若，则11()()()ababe1abeab是单射.2020/2/17引理2Ker若GG是群到群的同态满射，则.G1~,{}()GGeGKereG,,aGnKer11()()()()aeaaae证明：1anaKer11()()()()anaanaKer.G2020/2/17四、群同态基本定理G/GN(:,)aaNaGG/GN:,aaNaG定理3群同它的每个商群定义4称群到商群的同态满射为的自然同态.同态.G/GN到KerN注：,HG()/HHN2020/2/17定理4（群同态基本定理）/.GKerG()()aKeraaaG：GG群与同态，是到满射，则GG的同态证明：取2020/2/17说明：GG定理3说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同构意义下是的一个商群.定理4说明一个群则这个群G因此，在同构意义下，定理3与定理4的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.2020/2/17GG~GG||G|||/|GGKer推论1：设与是有限群，且，则推论2：循环群的商群也是循环群.整除||.G||G2020/2/17五、群的同构定理GGKerN()NN//GNGN:()aNaN定理5设是群到群的同态满射，则，又,G证明：取2020/2/17N///GNGHHN例4，则,GHNH,G证明：~/GGNKerN()/HHNH,G/GN///GNGHHN