人口预测模型灰色预测

灰色理论概况社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知的“小样本、“贫信息不确定性系统，它通过对“部分已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融政策、利率政策、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。灰色预测是基于GM模型作出的定量预测，有(1,1)GM)模型、残差(1,1)GM模型、新陈代谢(1,1)GM模型、灰色Verhulst模型、离散灰色模型等几种类型。灰色组合模型包括灰色经济计量学模型(G．E)、灰色生产函数模型(G—CD)、灰色马尔可夫模型(G—M)、灰色序列组合模型等。3．2灰色预测模型运用(1,1)GM模型、灰色Verhulst模型、离散灰色模型三个模型对深圳人口数量进行预测研究。3．2．1(1,1)GM模型定义3．2．1设(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())XxxxnXxxxn称(0)()()()kXkaxkb为(1,1)GM模型的原始形式。其中G表示灰色(grey)，M表示模型(Model)，第一个1表示一阶方程，第二l表示1个变量。GM(1，1)模型首先对原始数据进行一阶累加生成，然后利用指数曲线拟合并预测，最后通过累减还原得到预测值。一般将原始数据序列记为(0)X，将一阶累加生成序列记为(1)X。建(1,1)GM模型的步骤如下：(1)假定原始数据序列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Xxxxn对原始数据序列进行一阶累加生成(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,())Xxxxn其中，(1)(0)1()()1,2,,kiXkxikn(2)构造(1)Z序列令(1)(1)(1)1()()(1)2xkxkxk，得(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Zzzzn(3)建立白化方程(1)(1)dxaxbdt(4)求参数a和b若ˆ,Taab为参数序列，且(1)(1)(1)1(2)121(3)121()12zzBzn，(0)(0)(0)(2)(3)()nxxYxn用最小二乘法求解1,()TTTnaabBBBY(5)将白化方程离散化，微分变差分，得GM(1，1)灰微分方程(0)(1)()()xkazkb称为(1,1)GM模型的基本形式。(6)白化微分方程求解求得到微分方程的解为：(1)(1)()((1))atbbxtxeaa(1,1)GM灰色预测模型(0)(1)()()xkazkb的时间响应方程为：(1)(0)ˆ(1)((1))akbbxkxeaa还原值为(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()xkxkxk其中a为发展系数，2,2a，反映了(1)ˆ()xk及(0)ˆx的发展态势。b为灰色作用量。(1,1)GM模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰色的。灰色模型预测检验一般有残差检验和后验差检验。一、残差检验按预测模型计算(1)ˆ()xk，累减(1)ˆ()xk生成(0)ˆ()xk，再计算原始序列(0)()xk和(0)ˆ()xk的绝对误差和相对误差序列：0(0)(0)ˆ()()(),1,2,,kxkxkkn(0)(0)()()100%,1,2,,()kkknxk二、后验差检验法后验差检验其检验步骤是：(1)计算原始序列均值及均方差分别为：(0)(0)2(0)111(()())1(),S1nnkkxkxtxxknn(2)计算残差均值及均方差分别为：(0)(0)2(0)(0)121(()())1()(),1nnkkktkkSnn(3)计算后验差比值：21SCS(4)1(()0.6745)pPkS称为小误差概率。(5)确定模型级别，指标如表：模型精度等级小误差概率P后验差比CI0.950.35II0.80.5III0.70.65IV0.70.65等级说明:C值越小越好，即1S较0S小得多，表示原始数据离散大，而预测误差离散性小，则预测精度高；P越大越好，即小误差的概率大，直接表示拟合精度较高。若残差检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测，否则进行残差修正。3．2．2灰色Verhulst模型Verhulst模型主要用于描述具有饱和状态的过程，即S型过程(在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长，这种增长曲线大致呈S型)。1837年，荷兰数学生物学家Verhulst研究生物繁殖规律时提出了Verhulst模型。这一模型用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命等。定义3．2．2设(0)X为原始数据序列，(1)X为(0)X的一阶累加序列，(1)Z为(1)X的紧邻均值生成序列，称(0)(1)(1)()()(())axkazkbzk为(1,1)GM幂模型。令(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)((2))(3)((3))()(())aaazzzzBznzn,(0)(0)(0)(2)(3)()xxYxn则(1,1)GM幂模型参数列ˆ,Taab的最小乘估计为1ˆ()TTaBBBY当2a时，称(0)(1)(1)2()()(())xkazkbzk为灰色Verhulst模型。灰色Verhulst模型的白化方程为(1)(1)(1)2()dxaxbxdt则(1)(1)(1)(1)(0)()(0)(0)ataxxtbxabxe为白化方程的解。灰色Verhulst模型的时间响应方程为(1)(1)(1)(1)(0)ˆ(1)(0)(0)akaxxkbxabxe由灰色Verhuls方程的解可以看出，当t时，若0a，则(1)()0xt；若0a，则(1)()axtb，即有充分大的t，对任意kt，(1)(1)xk与(1)()xk充分接近，则(0)(1)(1)(1)(1)()0xkxkxk，0，系统趋于死亡。灰色Verhulst模型检验和下面的离散灰色模型同(1,1)GM模型检验的步骤是相同的，若残差检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测。3．2．3离散灰色模型定义3．2．3设(0)X为原始数据序列，(1)X为(0)X的的一阶累加序列，称(1)(1)12(1)()xkxk为离散灰色模型。若12ˆ,T为为参数列且(1)(1)(1)(1)1(2)1()1xxBxn，(1)(1)(1)(1)(2)()xxYxn则离散模型的最小二乘估计参数列满足112ˆ,()TTBBBY取(1)(0)(1)(1)xx，有(0)11211ˆ(1)(1)1kkxkx，1,2,3,,1kn得到还原值为(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()xkxkxk，1,2,3,,1kn离散灰色模型解释了(1,1)GM模型从离散形式到连续形式转变问题，为此提供了理论基础。用离散灰色模型做纯指数增长序列数据进行模拟时，解决了预测稳定性问题。3．3．1基于(1,1)GM模型深圳市人口数量的预测一、模型的建立选取1979—2007年以来的人口数据作为原始数据，2008年、2009年和2010年留作拟合精度比较。（1）原始序列为：(0)()(31.41,33.29,36.69,44.95,59.52,74.13,88.15,93.56,105.44,120.14,141.6,167.78,226.76,268.02,335.97,412.71,449.15,482.89,527.75,580.33,632.56,701.24,724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1)xt(2)对原始序列进行一阶累加得：(1)()(64.7,101.39,146.34,205.86,279.99,368.14,461.7,567.14,687.28,828.88,996.66,1223.42,1491.44,1827.41,2240.12,2689.27,3172.16,3699.91,4280.24,4912.8,5614.04,6338.61,7085.23,7863.5,8664.3,9492.05,xt10363.15,11275.52)(1)(1)(1)()0.5()(1)(136.38,203.805,293.085,404.28,536.505,676.845,835.005,1015.215,1227.615,1479.285,1819.425,2221.455,2725.41,3344.475,4018.2,4742.535,5534.16,6404.655,7353.495,8405.355YtXtXt,9492.21,10627.845,11779.545,12980.745,14222.37,15529.02,16913.28)令136.38203.80516913.28B，101.39146.3411275.52nY用最小二乘法求解：故湖南省人口数量GM(1，1)模型方程为：GM(1，1)时间响应序列为还原值方程为：二、统计检验：平均相对误差(%)：10.345%q精度：1110.003450.9965599.655%99%q原始标准差：1205.7118S残差标准差：225.09638S后验检验：210.12199770.35SCS小误差概率：：1(())0.6745138.7526)10.95pPkS以上分析看，17个年份的相对误差在0~0．6％之间，均小于5％，精度99．655％99％，后验差比值C=O．12199770．35，小误差概率为一级。综合评定，对于给定的兹、P、C取值，检验模型的模拟精度为一级水平，故可以用GM(1，1)模型预测。2．2．1．2基本测算公式l、医院床位的测算：医院病床需求量=人口数×实际住院率X平均住院日年平均床开放目数指标说I!fj：(1)人口数来源于吐鲁番统计年鉴(2001年)。”1：(2)实际住院率来源于新疆卫生服务调查数据。…：(3)印5F均床开放日数=365(天)×病床使用率，当病床使用率为85％时，则平均每张病床的年开放日数=365*85％=310．25：(4)平均住院日按地州市、县级市、农村的不同规定进行计算。