高数极限30题巧解例析

1高数极限30题巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。一、巧用等价无穷小替换求极限1.1lim(arcsinarctan)xxx解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。解法如下：11arctan~()xxx原式＝arcsinlim0xxx（arcsin22x注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。）2.20cot(tansin)limxxxxx解：本题属于00型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下：由于coscotsinxxx，1tansinsin(1)cosxxxx2所以可得原式＝20cos1sin(1)sincoslimxxxxxx＝201coslimxxx[注：21cos~(0)2xxx]＝2202limxxx＝123.3332limln()1nnnn解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。详细步骤如下：令31nt，则原式＝33321limln()11nnnn＝0112limln()1tttt＝0113limln()1ttttt＝013limln(1)1tttt[注：33ln(1)~(0)11ttttt]＝013lim[()()]1tttt＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n属于离散变量，不能求导。）34.04sin42lim6xxx解：本题为00型未定式，洛必达法则可作为备选方法之一，但巧用等价无穷小替换将会收到事半功倍的效果。求解过程如下：原式＝0sin42(11)4lim6xxx[注：sin41sin411~~(0)4242xxxx]＝022lim6xxx＝165.211lim[ln()ln()2]nneenn解：本题求极限，首先应排除用洛必达法则，因为n是非连续变量，不可求导，若巧用等价无穷小替换，无疑是非常明智的选择。解题过程如下：令1tn，则原式＝201lim[ln()ln()2]tetett＝201lim[ln()1ln()1]tetett＝201lim[ln()lnln()ln]teteetet＝201lim(lnln)tetettee＝222201lim(ln)tette＝22201lim[ln(1)]ttte[注：2222ln(1)~(0)tttee]＝22201lim()ttte4＝21e6.tan220(1)14lim(1cos)ln(12)xxxexxx解：本题看似复杂，如能巧用等价无穷小替换，计算将会变得相当简单。详细过程如下：tan22221~tan~(0)141(0)1cos~(0)2ln(12)~2(0)xxexxxxxxxxxxxx原式＝22202()lim1()(2)2xxxx7.sinsec20limtanln(1)xxxxeexx解：本题属于00型未定式，如果用洛必达法则求极限，其计算量相当大，推荐采用等价无穷小替换。解题过程如下：tan~(0)xxx，22ln(1)~(0)xxx原式＝sinsec30limxxxxeex＝secsinsec30(1)limxxxxxxeex[注：sec1(0)xxex]＝30sinseclimxxxxx[注：sinsec1~sinsec(0)xxxexxxx]＝30sec[cossin]limxxxxxx[注：sec1(0)xx]5＝30sincoslimxxxxx＝301sin22limxxxx＝30sin22lim2xxxx[注：3314sin22~(2)(0)63xxxxx]＝33043lim2xxx＝238.1lim(sin)nnnn解：本题属于幂指函数，宜先利用自然对数将表达式变形，再设法运用等价无穷小替换求出极限。解题过程如下：令1nt，则原式＝210sinlim()tttt＝21sinln(11)0limtttte[注：32sinsinsin6ln(11)~1~(0)6ttttttttttt]＝221()60limttte＝61e9.301sintan1sinlimarcsinxxxxxxx6解：本题求极限，若用洛必达法则，算式将会非常复杂，采用等价无穷小替换则会很简便。求解过程如下：原式＝40(1sintan1)(1sin1)limxxxxxx[注：arcsin~(0)xxx]＝44001sintan11sin1limlimxxxxxxxx＝440011sintansin22limlimxxxxxxxx[注：函数分子等价无穷小替换。]＝401sin(tan)lim2xxxxx[注：3tan~(0)3xxxx]＝3301sin3lim()2xxxxx＝16如果有的网友对上面的求解过程不太理解，也可采用下面的方法。详细过程如下：原式＝40(1sintan1sin)(1sintan1sin)lim(1sintan1sin)xxxxxxxxxxxxxx＝40sintansinlim2xxxxxx＝40sin(tan)lim2xxxxx[注：3sin~(0),tan~(0)3xxxxxxx]＝340()3lim2xxxx＝16710.tansin20lim(11)xxxeexxx解：本题同上面的第9题类似，巧用等价无穷小替换依然是优先选择。解题过程如下：原式＝tansin30(1)(1)limxxxeex[注：11~(0)xxxx]＝tansin330011limlimxxxxeexx＝3300tansinlimlimxxxxxx[注：tansin1~tan(0),1~sin(0)xxexxexx]＝30tansinlimxxxx[注：3tansin~(0)2xxxx]＝3302limxxx＝12另外，本题也可采用如下方法计算：原式＝sintansin30(1)limxxxxeex[注：sin1(0)xex]＝tansin301limxxxex[注：3tansin1~tansin~(0)2xxxexxx]＝30tansinlimxxxx＝3302limxxx＝128二、用等价无穷小替换求解加减运算函数极限的甄别探讨众所周知，等价无穷小替换多用于乘除运算函数表达式的求极限，对于函数表达式为加减运算的，讲义或教科书更多的是强调不可替换，建议改用别的方法。事实上，如果找对方法，很多的加减运算函数求极限，也是可以采用等价无穷小替换的。下面看一些实例：1.0sintanlimln(1)xxxx解：本题求极限难度很低，问题的核心在于，能否将函数的分子sintanxx直接替换成2xxx，答案显然是肯定的。解析如下：tan~sin~ln(1)~(0)xxxxx0000000sintansintan2limlimlimlimlimlimlim2ln(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx如果对上面的结果不放心，我们可运用洛必达法则验证如下：2000sintansintancosseclimlimlim2ln(1)1xxxxxxxxxxx通过上面的例子我们可以得出结论：对于表达式为加减运算的函数求极限，采用等价无穷小替换后，如果函数表达式的分子与分母同阶并且极限存在，即可替换。这里要说明的是，分子与分母同阶并不能保证极限一定存在，如xxxtansinlim，这里xxtansin与同阶，但极限不存在；另外，极限存在也不9要求分子分母同阶，如20lim0xxx，这里分子为2价，分母为1阶。分子分母不同阶，但极限存在。2.30tansinlimxxxx解：本题我们仍然采用无穷小替换，看结果如何。tan~sin~(0)xxxx0limlimsinlimtanlimsintanlim3030303030xxxxxxxxxxxxxxxx最后得到的极限值为0，非常遗憾，这一答案是错误的。因为替换后函数表达式的分子为1阶，分母为3阶，分子分母不同阶，且极限为，也即极限不存在，因此，不能用无穷小替换。本题可用洛必达法则求解：30tansinlimxxxx220203030seccoslim32sectansinlim62secsinsinlim62sec1sinlim()612xxxxxxxxxxxxxxxxxx3.0ln(1)ln(1)limxxxx解：本题函数的分子为加减运算，此处可以直接采用等价无穷小替换。100ln(1)~(0),ln(1)~(0)()lim2xxxxxxxxxx原式＝现在，用洛必达法则验证上面的计算是否正确：0011ln(1)ln(1)11limlim21xxxxxxx（正确）4.01tan1sinlim(seccos)xxxxxx解：本题的分子和分母均包含有加减运算，但仍可大胆采用等价无穷小替换。详细步骤如下：311tan1sin(1tan1)(1sin1)(tansin)~(0)24xxxxxxxx222seccossec(1cos)secsin~(0)xxxxxxxx32014lim4xxxx原式＝下面用教科书上推荐的解法（分子“有理化”）予以验证：原式＝20(1tan1sin)(1tan1sin)limsec(1cos)(1tan1sin)xxxxxxxxxx＝20tansinlim2sinxxxxx＝3302lim2xxx＝14（正确）5.01tancoslimln(1)xxxxxx解：本题函数表达式的分子分母同样均包含有加减运算。此处我们仍11然采用等价无穷小替换法求解函数极限。详细步骤如下：（1）对函数表达式的分子，作如下的变换：1tancos1tan1(1cos)xxxxxx（2）对表达式的分母，进行下面的变形：2ln(1)~(0)2xxxx因此可得：原式＝201tan1(1cos)lim2xxxxx＝22001tan11cos2(limlim)xxxxxxx＝22220011222(limlim)xxxxxx＝2[注：2111tan1~tan~~1cos(0)22xxxxxxx]下面用洛必达法则对计算结果进行验证：01tancoslimln(1)xxxxxx＝20sectansin21tanlim111xxxxxxxx12＝222230/22sectan2sec2sectancos21tan41tain11lmxxxxxxxxxxxxxx＝2（正确）6.2tan0(12sin)2sec1lim1xxxxxe解：本题求极限，无论是洛必达法则、泰勒展开式或者微分中值定理等，在这里都不太给力，等价无穷小替换可以说是不二之选。运算过程如下：（1）对函数的分母作如下替换：221~(0)xexx（2）对函数的分子作下面的替换：)0(2~sintan2~)