计算流体力学FDM

Slide1南京航空航天大学航空宇航学院计算流体力学AFreesamplebackgroundfrom差分方法22uuatx初始条件一维扩散方程(,0)(),01uxfxxAFreesamplebackgroundfrom差分方法边界条件0(0,)(),0utgtt1(1,)(),0utgttAFreesamplebackgroundfrom计算区域及网格xxtt计算区域计算网格0101(j,n)AFreesamplebackgroundfrom差分方法AFreesamplebackgroundfrom差分格式及截断误差以网格点处的连续导数为例向前差分(,)jn/ut1nnjjtuuutAFreesamplebackgroundfrom差分格式及截断误差采用Taylor展开分析其截断误差122222()2!2nnjjtnnnnjjjjnnjjuuuttuuututttututt具有一阶截断误差即()ntjuuOttAFreesamplebackgroundfrom差分格式及截断误差向后差分1nnjjtuuut用同样的方法可以证明()ntjuuOttAFreesamplebackgroundfrom差分格式及截断误差中心差分112nnjjtuuut用同样的方法可以证明2()ntjuuOttAFreesamplebackgroundfrom差分格式及截断误差二阶导数的中心格式1122nnnjjjttuuuut用同样的方法可以证明222()nttjuuOttAFreesamplebackgroundfrom例题用和构造的二阶精度差分格式。设构造的差分格式为：21,nnjjuunjunjux21nnnnjjjjaubucuuxx（1）AFreesamplebackgroundfrom例题22223331(2)(2)2!1(2)3!nnnnjjjjnjuuuuxxxxuxx221233312!13!nnnnjjjjnjuuuuxxxxuxx围绕进行Taylor展开：jnAFreesamplebackgroundfrom例题021202abcabba12a2b32c最后得到，，AFreesamplebackgroundfrom翼型的C型网格AFreesamplebackgroundfrom物理空间和计算空间AFreesamplebackgroundfrom坐标变换uuxuyxyuuxuyxyAFreesamplebackgroundfrom坐标变换uyuyuxyxxy(,)(,)xyxyJxy1uuyuyxJAFreesamplebackgroundfrom有限差分解法11122nnnnnjjjjjuuuuuatx可以改写为111(12)nnnnjjjjusususu2/()satx其中AFreesamplebackgroundfrom有限差分解法1/2sAFreesamplebackgroundfrom有限差分解法1sAFreesamplebackgroundfrom有限差分解法1/2sAFreesamplebackgroundfrom有限差分解法1sAFreesamplebackgroundfrom收敛性如果在解区域中的每一点(x,t)，有限差分的解当网格步长Δx和Δt趋向于零时，趋向于所近似的微分方程的解，则称有限差分方程的解是收敛的。AFreesamplebackgroundfrom相容性当网格步长Δx和Δt趋向于零时，有限差分方程趋向于相应的微分方程，这种特性叫相容性。ETtutunjnj224244222,122xtOxuxtutEnjnjTAFreesamplebackgroundfrom稳定性如果在n时间层引入误差，则必然影响到第n+1时间层以及以后各层的计算结果。如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或保持有界，则称该差分方程为稳定的，否则为不稳定。AFreesamplebackgroundfrom相当性定理如果一适定的线性初值问题的有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充分与必要条件。AFreesamplebackgroundfrom稳定性分析：Von-Neumann方法将一个时间层上沿网格点的误差分布展开为Fourier级数；观察以后各层计算得到的误差分布的各个谐波分量。如果各个谐波分量的振幅都衰减或保持有界，则差分格式是稳定的；如果是无限增长，则为不稳定。AFreesamplebackgroundfrom稳定性分析有限差分解法11122nnnnnjjjjjuuuuuatx可以改写为111(12)nnnnjjjjusususu其中2/()satxAFreesamplebackgroundfrom稳定性分析误差分布满足与差分方程相同的方程，即111(12)nnnnjjjjsssnj考虑第层误差的Fourier展开式的一个谐波分量n()exp()nnjjVkikx其中为波数，为振幅。k()nVk（*）AFreesamplebackgroundfrom稳定性分析1()exp()exp()nnjjVkikxikx1()exp()exp()nnjjVkikxikx11()exp()nnjjVkikx由于AFreesamplebackgroundfrom稳定性分析1()()(12)nnikxikxVkVksesse1()()()nnVkGkVk2()12()14sin(/2)ikxikxGksseeskx将上述公式代入方程(*)，得到（**）当从时间层n推进到n+1层时，我们定义误差的这一谐波分量的增长因子G为由(**)式，容易计算出AFreesamplebackgroundfrom)cos(2)sin()cos()sin()cos(xkxkixkxkixkeexikxik)2(sin2)cos(12xkxkAFreesamplebackgroundfrom稳定性分析按稳定性要求，对所有的谐波分量，即当取遍所有实数时，都应有，即k()1Gk2114sin(/2)1skx显然，右边不等式对所有与值都是满足的，为满足左边不等式，必须ks2sin(/2)1/2skx此式必须对所有值成立，所以必须1/2skAFreesamplebackgroundfrom格式时间和空间都采用中心格式，得到1111222nnnnnjjjjjuuuuuatx此式可以改写为11112(2)nnnnnjjjjjuusuuut(j,n)xAFreesamplebackgroundfrom格式由于121nnnVGVGV，因此212(2)ikxikxGsGee由于21cos()sin22kxkx因此228sin(/2)10GskxG(*)AFreesamplebackgroundfrom格式方程（*）有两个根和，根据韦达定律1G2G121GG2128sin(/2)GGkxs由式（**）知道，如果，则必有（**）12GG1211GG或者说明误差的每个谐