概率论复习

概率论复习主讲：翁刚杰第一章随机事件与概率大纲要求：理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质。会计算古典概型的概率和几何概型的概率。重点知识结构图随机现象随机试验样本空间随机事件事件关系事件运算事件域包含、相等、互斥、对立和、积、差运算性质概率概率的统计定义古典概率几何概率概率的公理化定义概率的性质典型例题例1-9：某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的概率是多少?若记得最后一位是奇数，则此概率又是多少?解：设1A表示“一次拨通过”2A表示“第二次拨通过”3A表示“第三次拨通过”1011AP，10091010192AP，1000811010101993AP321AAA表示不超过三次拨通电话1A、2A、3A是互斥事件，则271.01000271321321APAPAPAAAP例1-10：房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月份的概率是多少?解441212Pp例1-7：已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为止，求需要测试7次的概率。解81710472613PPPCp例1-13：将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）A=｛没有一个盒子里有2个球｝;（2）B=｛3个球全在一个盒子内｝。解33143334444)(4!44)(CBPPAP设A={取出的牌中至少有2张牌的花色相同}则A={取出的3张牌中没有花色是相同的}例1-19：在一副扑克牌中，任取3张，求取出的牌中至少有2张牌的花色相同的概率。解65.0)(1)(35.01488245272813)(354334APAPPPAP第二章条件概率与独立性大纲要求：理解条件概率定义掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式理解事件独立性概念，掌握应用事件的独立性进行概率计算了解独立重复试验概型，掌握有关事件概率的计算方法，熟悉二项概率公式的应用重点知识结构图概率条件概率事件独立性的定义独立试验概型贝叶斯公式：条件概率定义：乘法公式：全概率公式：二项概率公式APABPABPABPAPABPniiiBAPBPAP1niiijjjBAPBPBAPBPABP1典型例题例2-11：袋中装有a只白球、b只黄球，现从袋中任意取出1个球，观察颜色后放回袋中，并另加入c只与之同色的球。如此观察了3次，试求前2次取得黄球且第3次取得白球的概率。解：设Ａ＝｛第一次取得全是黄球｝Ｂ＝｛第二次取得全是黄球｝Ｃ＝｛第三次取得全是白球｝则11babCCAP，11|cbacbCCABP，121|cbaaCCABCP)2)()(()(cbacbabacbabABCPABPAPABCP例2-16：用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有98%，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求:（1）若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率;（2）若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率;(3）解释以上结论的意义。解：设Ａ＝｛此人被诊断为患肺癌｝Ｂ＝｛此人确实患肺癌｝98.0BAP，99.0BAP，02.0BAP，01.0BAP03.0BP，97.0BP则BPBAPBPBAPAP97.001.003.098.0（１）7519.0APBAPBPAPABPABP（２）0001.0APBAPBPAPBAPABP（３）即使诊断为患肺癌，仍有25％的机会没有患上肺癌，因此，被检查者不必过于紧张，可进一步检查。解：相互独立。与CBABAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPBCACCBA)()()]()()()()[()()()()()()()()()()()()(例2-5：设已知事件A、B、C相互独立，试证:A∪B、AB、A-B与C独立。例2-7：投掷两颗均匀的骰子，试求:（1）若已知点数和是偶数时，点数和等于8的概率;（2）若已知点数和是奇数时，点数和大于6的概率;（3）若已知点数和大于6时，点数和是奇数的概率。解：(1)A={点数之和为偶数}B={点数之和等于8}18536/1836/5)()()()()()}4,4()3,5()5,3(,)2,6(,)6,2{(18APBPAPABPABPBrA，，8、解：6.04332541)()()(1)(1)(41)(,31)(,51)(321321321321APAPAPAAAPAAAPAPAPAP设Ai={第i人破译出密码}i=1,2,3例2-8：三个人同时独立地破译一密码，若各人能译出的概率分别是1/5、1/3、1/4，求此密码能被他们破译出的概率。9、解：10110/110/110/1}3{}4{}4{}3,4{)()()()1(221121PPPPAPABPABP例2-9：盒中装有编号1～10的十张卡片，现从中任意抽看两张的编号，第一次看一张，看后放回，混合后再抽看一张。若记第一张卡片的编号为ξ1，第二张卡片的编号为ξ2，现令A=｛ξ1=4｝，B=｛ξ1+ξ2=7｝，试求P（B|A）及P（A|B）。)}4,3(),3,4(),2,5(),5,2(),1,6(),6,1{(}7{61100/6100/1}7{100/1)()()()2(2121其中PBPABPBAP例2-14：用某种方法检验产品，若产品是次品，经检验定为次品的概率是90%;若产品是正品，经检验定为正品的概率是99%。现从含5%次品的一批产品中任取1件进行检验，求下列事件的概率:（1）经检验定为次品;（2）经检验定为次品而实为正品。14、解：A={产品为正品}B={产品经检验为正品}0545.005.09.095.001.0)()()()()()1(99.0)(9.0)(95.0)(APABPAPABPBPABPABPAP1743.00545.095.001.0)()()()()()()2(BPAPABPBPBAPBAP例2-16：用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有98%，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求:（1）若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率;（2）若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率;(3）解释以上结论的意义。16、解：A={被诊断患有肺癌}B={确实患有肺癌}7519.00391.003.098.0)()()()()()(0391.097.001.003.098.0)()()()()(APAPABPAPABPABPBPBAPBPBAPAP＝0006.09609.003.002.0)()()()()()(APBPBAPAPBAPABP19、解：A={出现正面}Bi={是第i个硬币}1012/15141)()()()()2(2151)14321410()()()()1(22251APBPBAPABPBPBAPAPiii例2-19：设盒中有5个外形一样而均匀性不同的硬币，每个硬币经抛掷出现字面的概率分别为p1=0，p2=1/4，p3=1/2，p4=3/4，p5=1，试求下列事件的概率:（1）任取1个硬币抛掷出现字面;（2）任取1个硬币抛掷后出现字面，这个硬币是第i个硬币（i=1，2，3，4，5）;（3）若将（2）中的这个硬币再抛掷1次，又出现字面。75.04.013.0432.0211.041)()()()3(51iiiBPBAPAP例2-21：用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验定为正品的概率是0.99;若元件是次品，经检验被定为正品的概率是0.05。当有大批元件送检时，检验员只能从一批元件中抽取样本来检验:无放回地抽取3件，对每1件独立地进行检验。若3件全验定为正品，这批元件就可出厂。现送来元件100件，已知其中有4件次品，求这批元件能出厂的概率。21、解：Ai={第i件产品，经检验为正品}Bi={第i件产品是正品}C={这批元件能出厂}显然P(C)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)9524.0100405.01009699.0)()()()()(1111111BPBAPBPBAPAP9524.0100405.01009699.0)()()()()(2222222BPBAPBPBAPAP9524.0)100961(05.01009699.0)()()()()(3333333BPBAPBPBAPAP8639.09524.0)()()()(3321APAPAPCP例2-22：有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12件、17件;不合格产品5件、4件、5件。现任意打开一箱，并从箱内取出一件进行检验。由于检验误差，每件合格品被检验误定为不合格品的概率是0.04，不合格品被误定为合格品的概率是0.06。试求下列事件的概率:（1）取出的这件产品经检验为合格品;（2）被检验定为合格品的产品真是合格品。22、解：Ai={产品来自第i箱}757.0)775.01(06.0775.096.0)()()()()(775.0315171731412123152020)()()()1(31BPBCPBPBCPCPAPABPBPiiiB={产品是合格品}C={产品经检验为合格品}982.0757.096.0775.0)()()()()()()2(CPBCPBPCPCBPCBP第三章随机变量大纲要求理解随机变量的概念理解随机变量的分布函数的概念和性质，会计算随机变量事件的概率理解离散型随机变量及其概率分布概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其应用理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系掌握正态分布、均匀分布和指数分布及其应用会求简单随机变量函数的概率分布重点知识结构图分布函数分布函数定义分布函数性质：（１）规范性（２）渐近性（３）单调不减性（４）左连续性常用分布离散型：0-1分布二项分布泊松分布连续型：均匀分布正态分布指数分布随机变量函数的分布典型例题例3-2：设有一均匀的陀螺，在其圆周的半圈上均匀地标明刻度1，另外半圈上均匀地刻上区间［0，1］上诸数，旋转这陀螺，求它停下时其圆周上触及桌面的点刻度ξ的分布函数。解：当0x时，0xPxF当10x时，2xxPxF当1x时，1212111PPxPxF综合1,110,20,0xxxxxF例3-12：一交换台总机共有300台分机，拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%，试求每台分机向总机要外线时，能即时得到满足的概率。解：设表示同一时间打出去分机数，则pnB,~，其中03.0p，300n因n充分大，则近似服从P其中，903.0300np因此，能即时得到满足的概率：92615.0!13130iieiP例3-23：设电子管的