作差法与作商法比较大小

[读教材·填要点]比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明ab，只要证明要证明ab，只要证明要证明ab0，只要证明要证明b＞a＞0，只要证明步骤作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论a－b0a－b0ab＞1ba1[小问题·大思维]1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．[悟一法](1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．[研一题][例1]求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)若abc，则bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b.[精讲详析]本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵abc，∴b－a0，c－a0，c－b0.∴(b－a)(c－a)(c－b)0.∴bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b.类型二利用作差法比较大小[例2]已知abc0，试比较a－cb与b－ca的大小．[解]a－cb－b－ca＝aa－c－bb－cab＝a2－ac－b2＋bcab＝a2－b2－a－bcab＝a－ba＋b－cab.因为abc0，所以a－b0，ab0，a＋b－c0.所以a－ba＋b－cab0，即a－cbb－ca.[点评]本题采用“作差法”比较两个代数式的大小，关键是作差变形后能准确地判断符号．判断符号要注意配方、因式分解、有理化、通分等方法的灵活使用．“作差法”的一般步骤：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．变式训练2已知a0，试比较a与1a的大小．解：∵a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，∵a0，∴当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上可知，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.[通一类]证明：∵x＞－1，∴1＋x0，1＋x0，∵1＋x－(1＋x2)＝1＋x－x＋1＋12＝x＋1－x＋12－12＝－12[(x＋1)－2x＋1＋1]＝－12(x＋1－1)2≤0，∴1＋x≤1＋x2.1．已知x－1，求证：1＋x≤1＋x2.3)23()23(3222xx例1.33:2xx求证证明:xx332043)23(2x.332xx上面的证明方法称比差法.其步骤是:作差--变形--判断--结论三、例题讲解例3.:,,,2233abbabababa求证且是正数已知证明:)()(2233abbaba)()(3223babbaa)()(22babbaa))((22baba2))((baba,,,baba且是正数,0)(,02baba0)()(2233abbaba即.2233abbaba三、例题讲解用作差比较法证明不等式的步骤为：作差—变形—定号.常用的变形方法有：配方法，通分法，因式分解法，有时把差变形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形式或变形为几个因式积的形式.变形到可判断符号为止.[悟一法](1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．(2)在作商比较法中ab1⇒ab是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b0，由ab1，可得ab，但若b0，则由ab1得出的反而是ab，也就是说，在作商比较法中，要对a、b的符号作出判断，否则，结论将是错误的．对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程．2、比较代数式的大小•例：试比较6x2+3x+5与5x2+3x+2的大小202330xx∴2x2+3x+5–(5x2+3x+2)0∴2x2+3x+55x2+3x+2=6x2+3x+5–5x2-3x-2=x2+3•解：6x2+3x+5–(5x2+3x+2)把整体看着实数轴上的一个a把整体看着实数轴上的一个b作差整理变形定号下结论类型三利用作商法比较大小[例3]设a0，b0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．[分析]因为a0，b0，所以我们只要比较aabbabba与1的大小即可．[解]aabbabba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当ab0时，ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba；当ba0时，0ab1，且a－b0，∴(ab)a－b1.即aabbabba.综上知：aabbabba.变式训练3若a0，比较aa与3a的大小．解：aa3a＝(a3)a当0a3时，0a31，则(a3)a1，aa3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a3时，a31，(a3)a1，aa3a.1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋340∴MN答案：MN[研一题][例2]已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.[精讲详析]本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．∵a＞2，∴a－11.∴loga(a－1)0，log(a＋1)a＞0，由于logaa－1loga＋1a＝loga(a－1)·loga(a＋1)[logaa－1＋logaa＋12]2＝[logaa2－12]2.∵a＞2，∴0loga(a2－1)＜logaa2＝2.∴[logaa2－12]2(logaa22)2＝1，即logaa－1loga＋1a＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.).(23.122babba求证证明:)(2322babba222baba0)(2ba).(2322babba四、练习.222.222baba求证证明:)22()2(22baba)12()12(22bbaa0)1()1(22ba.22222baba四、练习