2010年考研数学线代知识模块八

2010考研数学考前预测1线代预测知识模块八：二次型的标准化与正定性考点1：二次型的矩阵表示以及二次型的秩【参考题目1】二次型213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf的秩为【题目出处】数三2004年真题【详解】因为213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx于是二次型的矩阵为211121112A,由初等变换得000330211330330211A,从而2)(Ar,即二次型的秩为2.【参考题目2】已知二次型222123234(2)(2)(4)22aafxxxaxx，则(1)求该二次型的矩阵A和秩.（2）当该二次型f的秩为2时，求用正交变换Qyx把二次型f化成的标准形。【题目出处】海文名师授课团队讲义【详解】（1）A等价于40001100a，故当0a时，A的秩为2；当0a时，A的秩为3。（2）当0a时，A的秩为2，A的特征值为4，4，0，其特征向量为1231111(0,,),(1,0,0),(0,,),2222TTT则221244fyy【参考题目3】设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，ijA是ijnnAa中元素ija的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA2010考研数学考前预测2（1）记12(,,),nAxxx把1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA写成矩阵形式，并证明二次型()fX的矩阵为1A;（2）二次型()TgXXAX与()fX的规范形是否相同？说明理由.【题目出处】数三2001年真题【详解】(1)由题设条件，1211(,,)nnijnijijAfxxxxxA111111nnnnijijiijjijijAxxxAxAA112211()niiiinnixAxAxAxA121211(,,,)niiiininxxxAAAAx121211(,,,)niiiininxxxAAAAx12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnnxxxAAAxAAAxAAAAx1112112122221212()()1(,,,)()nnnnnnnnAAAxAAAxxxxAAAAx1212(,,,)TnnxxAxxxAxTTAXXA1()TXAX（2）因为1111TTAAAAEA,所以由合同的定义知A与1A合同.由实对称矩阵AB与合同的充要条件：二次型TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数.可知，()TgXXAX与()fX有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.考点2：二次型的标准形和规范形【参考题目4】已知二次型3231212322213212225,,xbxxxxaxxxxAxxxxxfT2010考研数学考前预测3的秩为2，且T2,1,2是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是【题目出处】海文名师授课团队讲义【详解】由11511bbaaA从T2,1,2是A的特征向量，有212212115111bbab即1222a1252ba1222b解出得2ba，31从2)(AR，知0A，于是02是A的特征值。再由iiia有3031)5(1，知63是A的特征值。因此，在正交变换下二次型的标准形是：232163yy考点3：用正交变换或配方法化二次型为标准形，线性无关向量组正交规范法的施密特方法【参考题目5】设矩阵010010000010012Ay（1）已知A的一个特征值为3，求y；（2）求矩阵P，使（AP）T（AP）为对角阵【题目出处】三模试卷【详解】（1）由特征值的定义有31001300000310011EAy解得2y（2）∵()()TTTAPAPPAAP，又()TTTAAAA是对称阵，即问题转化为求合同变换所对应的矩阵P，使()TTPAAP为对角阵又010001001000100010000100002100210054001200120045TAA（一）配方法：考虑二次型1234()()TTfxxxxXAAX2222123434558xxxxxx222212344495()55xxxxx令11yx22yx33445yxx44yx得22221234955fyyyy2010考研数学考前预测41122334410000100400150001yxyxyxyx1122334410000100400150001xyxyxyxy∴10000100400150001P则有11()()595TTTPAAPAPAP（二）正交变换法①先求TAA的特征值，得到1231，49②求1231特征向量为1(1000)T，2(0100)T，3(0011)T显然正交，故只须单位化得1(1000)r，2(0100)r，311(00-)22r49的特征向为4(0011)T，单位化为411(00)22Tr令10000100110022110022P则11()()19TTTPAAPAPAP考点4：正定二次型与正定矩阵【参考题目6】设A是3阶实对称阵，且满足022AA，若EkA是正定矩阵，则k【题目出处】白金卡A模块讲义【详解】由022AA知A的特征值是0或-2，那么kA的特征值是0或-2k，EkA的特征值是1或1-2k。又由正定的充分必要条件是特征值全大于0，故21k。【参考题目7】设有n元实二次型222212112223111(,,,)()()()()nnnnnnfxxxxaxxaxxaxxax其中(1,2,,)iain为实数.试问：当12,,,naaa满足条件时，二次型12(,,,)nfxxx为正定二次型.【题目出处】数三2000年真题【详解】根据定义，二次型f正定是指对任何0X，恒有()TfxXAX0.由其逆否命2010考研数学考前预测5题知，此条件等价于()0TfxXAX时0X。由题设知0f不可能，故等价于()0TfxXAX时有0X，亦即等价于方程组1122231000nnxaxxaxxax，只有零解。而上方程组只有零界的充分必要条件是其系数行列式121121100001000010011000010001nnnnaaaaaaa（见式（2.1.1.2））.于是当112110nnaaa时，上方程组只有零解。因而当112110nnaaa时，对任意列向量0X，必有()TfxXAX0。由二次型正定的定义知f为正定二次型。