函数与方程学案

学案11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．自我检测1．(2010·福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零点个数为()A．0B．1C．2D．32．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①②B．①③C．①④D．③④4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)探究点一函数零点的判断例1判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1(2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4个B．4个C．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．变式迁移2(2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f(0)0，21f0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A.0，1221fB．(0,1)f12C.12，143fD.0，1241f探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x1x2，则()A．x12,2x25B．x12，x25C．x12，x25D．2x15，x255．(2011·厦门月考)设函数f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是()A．4B．3C．2D．1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．7．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围．11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：(1)a0且－3ba－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.答案自主梳理1．(1)f(x)＝0(2)x轴零点2.f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无4.f(a)·f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)·f(c)0③f(c)·f(b)0自我检测1．C[当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B3.B4.B5.A课堂活动区例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f(x)＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数．又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1B[由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．]例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)·f(b)0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设f(x)＝2x3＋3x－3.经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.(a，b)(a，b)的中点fa＋b2(0,1)0.5f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f(x)在－12，＋∞上也是增函数，故f(x)在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝0＋122＝14.]例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]，∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)0，即1a5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，解得a≥5或a－3－72.综上所述实数a的取值范围是a1或a≤－3－72.变式迁移3解方法一(换元)设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程