自主数学参考答案

第1页共4页四川省绵阳南山中学高2012级自主招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题3分，共36分）题号123456789101112答案CDCCADACABBC二、填空题（每题4分共24分）13、)1)(3(xxy14、3或1215、31x16、168117、81、8718、（2）（3）（4）三、解答题19、（每小题8分共16分）（1）解：原式=321321)13(4………………………4分=43213134……………………..8分（2）解：由题知62x………………………………………………2分原式=2)1)(1()1()1(212xxxxxxx…………………………….6分当62x时，原式=6………………………………….7分当62x时，原式=6………………………………8分20、（每小题6分共12分）（1）解：由题知56bxa………………………………………………2分因为满足条件的整数解只有1和2，故有352160ba………4分151060ba，得整数a=1、2、3、4、5、6；…………...5分b=11、12、13、14、15………….6分（2）解：由4112xx得21x…………………………………………..2分将其代入0122kxx得3k从而方程化为：01322xx……………………………….4分.解得：211x，12x，即方程的另一个解为1x………….…6分第2页共4页21、（本题12分）解：(1)当用①②作为条件时，能够确定BEC是等腰三角形………….…..1分现证明如下：在ABE和DCE中，由条件可知DCEABEDECAEBDCEABEDCAB………………………………….3分ECEB，即BEC是等腰三角形…………………………………..4分(2)树状图如下所示：①②③④②③④①③④①②④①②③一共有12种结果……………………………………………………………..8分根据三角形全等的判定定理知：①③作为条件时在ABE和DCE中是边边角的关系，②④作为条件时在ABE和DCE中是角角角的关系，均不能得到ABE与DCE全等，共有4种结果………………………..10分使BEC不能构成等腰三角形的概率是31124………………………..12分22（本题12分）解：由题知)1(412mOBOAmOBOA…………………………………………….2分91242)(2222mmOBOAOBOAOBOA……………..4分又菱形ABCD的周长为20，故AB=5且OBOA………………………..6分25222ABOBOA，即2591242mm………………………8分解得：41m，12m…………………………………………………….10分当1m时有03OBOA，不合题意应舍去，4m…………12分23（本题12分）（1）证法1：连结OP则OPAP90APCCPO…………..2分BEPD于点E90AODCDO………….4分ODOPCDOCPO………………...5分AODAPC…………………6分证法2：连结PE、DE由AP与圆O相切于点P得PEDAPC….2分BEPD于点E且BE是圆O的直径PEDPODAOD21…………………5分AODAPC……………………………6分ABCOEPDABCOEPD第3页共4页（2）如右图：设OC=x，则CB=2x，从而OP=OD=3x……..1分在RtCPO中由222OCOPPC得xPC22又在RtAPO中………………………2分COACPC2，得xxx)26(82，即12x，1x，从而圆O的半径为3……………….4分由AP与圆O相切于点P得PECAPB22422tantanCEPCPECAPB………6分24（本题12分）解：（1）在甲地的销售售为xxxp142012甲（万元）)0(9092031420122xxxyxxw甲………………..4分（2）90)5(51)905101(101222xnxxxnxxw乙=904)5(5]2)5(5[5122nnx35904)5(52n，得100)5(2n15n（不符合题意应舍去5n）……………………..8分（3）当18x时，5117甲w，5126乙w5117甲w5126乙w应选择在乙地投产并销售时能获得较大的年利润。…………….12分25（本题14分）(1)证明：由题知))((44)(22cbacbacba………………2分cba,,是三角形ABC的三边0,0cbacba，即0抛物线与x轴一定有两个不同交点…..…………………………….4分（2）证明：由aba2得ba抛物线的解析式为：4222caxxy，直线为：acaxy………..5分ABCOEPD第4页共4页设点F、E的横坐标分别为x1，x2则由下面方程组043422222cacaxxacaxycaxxy4322121cacxxaxx…7分又MNFMNESS5，||5||12xx，即125xx0,02121xxxx，125xx………………..……………………….9分21ax，252axacca44522，解得ca(不符合题意应舍去ca51)cba，即三角形ABC是等边三角形…………………………………..10分(2)解：由（2）知23432aaSABC从而抛物线可化为142xxy令0142xx得32Px，32Qx……………..……….……….12分假设满足条件的圆存在，且设其圆心为E（2，n）,则PE=QE=22)()(22QEQEyyxx，即：12n1n，即满足条件的圆存在，且其圆心坐标为（2，1）……….……..14分.