第一专题第一讲矩阵分解与应用(一)

本讲主要内容一、矩阵的LU分解二、矩阵的满秩分解三、矩阵的奇异值分解引例加密的通信模型信息源加密：用大量数据产生密钥，实际中以矩阵形式呈现.受信者解密：将矩阵型密钥进行分解变形处理，达到获得信息的目的.一、矩阵的LU分解LU分解是将原正方(square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为三角分解.它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程.常见的应用领域：求反矩阵、求解联立方程组.假定我们能把矩阵写成下列两个矩阵相乘的形式：其中为下三角矩阵，为上三角矩阵。这样,我们可以把线性方程组写成ALUALUbAx令,则原线性方程组bUxLxLUAx)()(yUxbAxyUxbLy于是可首先求解向量y从而达到求解线性方程组的目的.bAx定义：设若使得:称可以作三角分解.nnACnnLCAnnCULUA其中:11212212nnnnlllLlllnnn222n11211uuuuuuU01,2,,kkn定理:可作唯一三角分解的充要条件为:nnnACLUA其中:为的顺次主子式detkkAA记:1.......11~121nllL1u1uu1Un2n112~称为Crout分解ULA~其中：L为一般下三角阵而为单位上三角阵U~例1:求A的Crout分解8221561254211201A解:设,即:ALU1000100101000000822156125421120134242314131244434241333231222111uuuuuullllllllll由此:,111l,121l,231l141l,00121211uul222122122221221ulllul1,21413uu1422211323lluu10132123232lual1322331133333lulual133243214313434lululau241124242lual2422341134343lulual544lULA~100011002110120152210112002100018221561254211201推论:设,且则唯一分解成:其中,为对角阵nnCAAUDLA~~D01,2,,1kkn定理:(Cholesky分解)正定的Hermite矩阵可唯一的分解为:AHLLA其中,为正线下三角,即对角线的元素均为正的L课堂练习求A的分解UDL~~8221561254211201AUDLA~~10001100211012015000010000200001121101212001100018221561254211201二、矩阵的满秩分解我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。定理：设，那么存在使得：mnrAC,mrrnrrBCCCABC其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。称此分解为矩阵的满秩分解。BC证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施行初等变换可以将其化成ArA即存在使得mmmPC00rIDPA10rrIAPIDBC于是有1,0mrrnrrrrIBPCCIDC其中如果的前列线性相关，那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在ArAr,mmnnmnPCQC且满足00rIDPAQ从而：BCQDIOIPQOODIPArrr1111其中nrrrrmrrCQDICCOIPB11,例2求矩阵122211212101A的满秩分解．解需要求出阶梯形矩阵B及诸初等矩阵的乘积P．为此，对距阵),(EA进行初等行变换，当A所在的位置成为阶梯形矩阵B时，E所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积P．),(EA＝100010001122211212101111011001000030202101行所以000030202101B，111011001P，可求得1120110011P．于是有30202101121101A．例3:求下面2个矩阵的满秩分解121012122133(1)243145486281000123(2)00246解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到1210121221332431454862810120111001121000000000000由此可知且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取()2RankA121012120111122133001121243145000000486281000000042226211122346120111,001121BCCC解（2）对此矩阵只实施行变换可以得到所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。00123002460012300000()1RankA选取2111511,200123BCCC2111512,43100122BCCC也可以选取由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：定理：如果均为矩阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足（2）11ABCBCAnnnC111,BBCC1111111111()()()()HHHHHHHHCCCBBBCCCBBB三、矩阵的奇异值分解(一)舒尔定理定理：若nnCA，则存在酉矩阵U，使得TAUUH这里T为上三角矩阵，T的(主)对角线上的元素都是A的特征值．证明设A的特征值为n,,,21．若1为A的属于1的单位特征向量．把1扩充成nC的一组基n,,,21．对它进行正交化、单位化，可以得到一组标准正交基n,,,21．以这组基作列向量构成的矩阵),,,(211nU为酉矩阵．由于),,,(),,,(211211nnAAAAAAU，注意到111111||T及向量组的正交性，则有1121121110AAAAUUnTnTTH易知1n阶方阵1A的特征值为n,,2．设21nC为1A的属于2的单位特征向量，又重复上述步骤，则又有1n阶酉矩阵2U，使得222120AUAUH．令22001UV，则2V和21VU都是n阶酉矩阵，而且2212112AVAUUVHH．继续这种作法，便得到1in阶的酉矩阵iU)1,,2,1(ni以及n阶酉矩阵iV)1,,3,2(ni．令1321nVVVUU则U为n阶酉矩阵，且使得TAUUH为上三角矩阵，显然T与A有相同的特征值．因U为酉矩阵，故舒尔定理的结论亦可以叙述为：任一复数方阵都可以酉相似于上三角矩阵．仿照这定理的证明可以得知，在定理的叙述中“上三角矩阵”改成“下三角矩阵”亦是可以的，当然它相应的酉矩阵与前者不同．又定理中的酉矩阵及上三角矩阵都不是唯一的．(二)正规矩阵定义设A为n阶复矩阵，若HHAAAA，则称A为正规矩阵．显然，对角矩阵、实对称矩阵)(TAA、实反对称矩阵)(AAT、正交矩阵)(1TAA、Hermite矩阵)(HAA、反Hermite矩阵)(AAH、酉矩阵)(1AAH都是正规矩阵．问题:正规矩阵一定是以上的几类矩阵之一吗?正规矩阵并非只有上述这些，例如1111A是一个正规矩阵，但是它不属于上述矩阵中的任何一种．引理:正规上（下）三角阵一定是对角阵.证明对方阵的阶数n归纳.1n时已是对角阵,结论自然成立.设结论对1n阶成立,现考虑n阶正规上三角阵A,设BCaA011其中C是)1(1n阵,B是1n阶上三角阵.由HHAAAA,得HHHHBCaBCaBCaBCa000011111111,即HHHHHHHBBBCCBCCaBBCCCaCaa2111111211.因此得HCCaa211211HHHBBBBCC由上式得njjnnHaaaaaaaCC22111312113120)(,即)2(01njaj,因此0C.又由上式得HHBBBB,即B是1n阶正规上三角阵.由归纳假设,得B是对角阵.于是BaA0011是对角阵.对正规下三角阵可以类似得到证明.定理设nnCA，则A是正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵U，使得A酉相似于对角矩阵，即nHAUUAUU211，其中n,,,21为A的特征值．证明设A是正规矩阵,即HHAAAA.由舒尔定理,存在酉矩阵U使得TAUUH是上三角阵.又UAAUUAAUUUTTAUAUAUUUAUTTHHHHHHHHHHHH可知HHTTTT,即T是正规上三角阵.由引理得T是对角阵,且T的主对角线上的元素都是A的特征值.另一方面，若上述定理结论成立，则HnUUA21，HnHUUA21，于是有HnHUUAA21HnUU21AAUUHHn22221||||||，所以A是正规矩阵．推论设A是n阶正规矩阵，其特征值为n,,,21，则（1）A是Hermite矩阵的充要条件是A的特征值全为实数；（2）A是反Hermite矩阵的充要条件是A的特征值为零或纯虚数；（3）A是酉矩阵的充要条件是A的每个特征值的模为1．证明因为A是n阶正规矩阵，其特征值为n,,,21，由前面定理知，存在酉矩阵U，使得nHAUU21，（3.2）所以，nHHUAU21．（3.2）(1)若A是Hermite矩阵，即HAA，结合（3.1）式与（3.2）式得ii，),,2,1(ni．所以，A的特征值全为实数．反之，若正规矩阵A的特征值全为实数，即ii),,2,1(ni，由（3.1）式与（3.2）式得UAUAUUHHH．因为酉矩阵U是可逆矩阵，所以HA