建筑力学4

第4章力系的平衡上一章研究了力系的简化理论及其应用。本章根据力系简化的结果，首先推导出平面一般力系的平衡条件和平衡方程，然后推导空间一般力系的平衡条件和平衡方程，并讨论平衡方程在工程实际中的应用。最后讨论静定与静不定（超静定）问题的概念，以及结构的计算简图。=0=åRFF22RFFFxy00xyFF由3.2.1的讨论可知，平面汇交力系各力作用线交于一点，可以合成为一个合力，因此，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力为零，即（3-15）式可知，合力的大小FR为=0RF，当时，必有（4-2）4.1平面汇交力系的平衡方程（4-1）反之，若（4-2）式成立，必有=0RF。（4-2）式称为平面汇交力系的平衡方程，方程表示了平面汇交力系的解析条件，即，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系中所有各力在任一坐标轴上投影的代数和均为零。00xyFF解：首先解除简支刚架A、B处的约束，取分离体ACB，受力分析，在B处为可动铰支座约束，约束反力为FB。A处为固定铰支座，约束反力过铰心A，方向不定。aaC(a)(b)FABDAFFDCABFBxy例4.1试求例2.2所示简支刚架的A、B支座反力，已知作用于刚架C点一集中力F。刚架的尺寸如图（a）所示。但由于简支刚架只在A、B、C三点受到3个互不平行的力的作用，由三力平衡定理可知，主动力F与B处的约束反力FB的作用线交于D，因此，固定铰支座A的约束反力FA的作用线应过AD连线，如图4-1（b）所示，F、FA和FB为一个汇交于D点的平面汇交力系。aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图4-10:cos450,220:sin450,2oxAAoyABBAFFFFFFFFFFF以A点为坐标原点，建立Axy平面坐标系，由（4-2）式建立平衡方程并求解得aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图4-1所求得的FA为负值，说明FA的方向应该指向左下方。åM=m0=åm4.2平面力偶系的平衡条件和平衡方程由作用平面为同一平面的若干力偶组成的力系称为平面力偶系。由3.3.2的讨论可知，平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶之矩等于各个分力偶之矩的代数和，即若力偶系的合力偶之矩为零，则物体在该力偶系的作用下将不会转动，而处于平衡。反之，如物体在平面力偶系的作用下处于平衡，则该力偶系的合力偶矩必为零。因此，平面力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶之矩为零，即力偶系中各力偶的代数和等于零，有（4-3）式称为平面力偶系的平衡方程。（4-3）ABθ图4-2(a)(b)θlBAFFmBAm2112mm例4.2如图所示简支梁AB，A端为固定铰支座约束，B端为可动铰支座约束。在梁上作用了矩为m1=10kN﹒m和m2=20kN﹒m的两个力偶，梁的跨度l=5m，θ=30o，试求梁A、B支座的反力。解：取AB梁作为研究对象。AB梁在两个力偶m1、m2和支座反力FA和FB的作用下处于平衡，由于梁所受到的主动力只有力偶，故约束反力FA和FB也构成力偶，应等值、反向，平行，受力分析如图4-2（b）所示。AB21o5cos3043kN3=-==FFmmo12A0:cos3050mmmF由力偶系的平衡方程（4-3）式得ABθ图4-2(a)(b)θlBAFFmBAm2112mm00ROMF4.3平面一般力系的平衡4.31平面一般力系的平衡条件和平衡方程由第3章中简化结果的讨论可知，平面一般力系可以简化为主矢量和主矩。由于一个力不能与一个力偶平衡，因此，平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢量和力系对任一点的主矩都等于零。即(4-4)将第3章中得出的主矢量和主矩的表达式（3-17）和式（3-18）代入式（4-4）中，可得上述平衡条件的解析表达式为：00()0xyOFFMF（4-5）（4-5）式中，前两式是投影方程，第三式是力矩方程，是平面一般力系的基本形式的平衡方程。（4-5）式的三个方程彼此独立，可以求解3个未知量。三个方程表示了平面一般力系平衡的必要与充分的解析条件，即：力系中各力在力系作用平面内任一直角坐标轴上投影的代数和为零，同时各力对力系平面内任一点之矩的代数和也为零。00()0xyOFFMF（4-5）4.3.2平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系除了基本形式的平衡方程以外，还有下列两种形式的的平衡方程。1）二力矩形式的平衡方程0()0()0xABFMMFF（4-6）其中A、B两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴）。000BA＝＝＝FFMMFx但A，B两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴）证明二力矩式①②③设原力系满足二力矩式的②、③两式，则原力系不能简化为一个力偶，只能简化为通过A、B两点的一个力。xF原力系满足①式，则要求该力垂直于x轴，但二力矩式的附加条件是A，B两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴），因此，该力只能为零。原力系不能简化为一个力偶，简化的力也为零，原力系平衡。2）三矩式平衡方程()0()0()0ABCMMMFFF（4-7）其中A、B、C三点不能共直线。0)(00BAFFFCMMM其中，A，B，C三点不能共直线。①②③证明三力矩式设原力系满足二力矩式的①、②两式，则原力系不能简化为一个力偶，只能简化为通过A、B两点的一个力。F原力系满足③式，则要求该力还必须通过C点，但三力矩式的附加条件是：A，B，C三点不能共直线。因此，该力只能为零。原力系不能简化为一个力偶，简化的力也为零，原力系平衡。平面一般力系的平衡方程虽然有上述3种不同的形式，但对于一个处于平衡的物体却只能建立3个独立的平衡方程式，任何第四个平衡方程式都只是力系平衡的必然结果，为前3个方程式的线性组合，因而不是独立方程，不能求解未知量。在应用上述平衡方程解题时，可以针对具体问题灵活选用一种形式的平衡方程，力求在所建立的平衡方程中，能够一个方程式只含一个未知量，以使计算简便。4.3.3平面平行力系的平衡方程平面平行力系是各力作用线位于同一个平面且相互平行的力系，其平衡方程可以由平面一般力系的平衡方程直接推导出来。若取x轴与各力作用线垂直，则有：，0xF成为恒等式，平衡方程只有两个，有以下两种形式：(1)平衡方程基本形式00()0yFMF(2)二矩式平衡方程0()0ABMFMF(4-8)(4-9)其中A、B连线不能与各力平行。ABθF图4-3(a)CqD2m1m1m例4.3如例2.1中所示简支梁，A处固定铰支座约束，B处可动铰支座约束。在AC段作用了荷载集度为q=5kN/m的均布荷载，在D点处作用一集中力F=10kN，θ=60o，各尺寸如图4-3（a）所示。试求A、B支座的约束反力。解：由例2.1知，简支梁的受力分析如图4-3（b）所示。简支梁所受的均布荷载q、集中力F和A、B支座的约束反力FAx、FAy、FB构成一平面一般力系，建立平衡方程yxABFFF图4-3(b)θCFqDABA0:cos3210132120kN2ABBMFFqFFqFyxABFFF图4-3(b)θCFqDABA0:sin0sin103kN0:cos202coskΝxAxBAxByAyBAyBFFFFFFFFqFFFqF20kNBF1600FF2450045O0602m2m2m2mABCABC(b)图4-4(a)NAFNCF2FFNBF1例4.4梁AC用三根连杆支承在水平位置，受荷载如图4-4（a）所示。已知F1=20kN，F2=40kN，试求A、B、C处的约束反力。解：取AC梁为研究对象，各连杆约束的约束反力通过杆轴线，画出AC梁的受力图如图4-4所示（b），已知的主动力F1和F2，未知的约束反力FNA，FNB，FNC构成一平面一般力系。NC22NC0:6cos602sin604029.8kNooOmFFFFF采用二力矩式平衡方程求解，首先建立力矩方程。应尽量选择多个未知力的交点作为矩心，以便减少方程中的未知量，因此，先对O点建立力矩平衡方程，NAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2mNAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2mNC29.8kNF12042sin602sin454031.8ooBNCNANAmFFFFFkNF再取未知力FNB的作用点B点为矩心，建立力矩平衡方程20cos45cos45cos6003.5xoooNANBNAFFFFFkN最后由投影方程NAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2m120:82sin606sin45403.5AooNCNBNBmFFFFFkNF采用三力矩式平衡方程求解时，保留前两个力矩方程，舍去第三个投影方程，再对未知力FNA的作用点A点建立力矩平衡方程qB图4-5AABBlxy(a)(b)AAFFxyqMAB例4.5试求图4.5（a）所示悬臂梁固定支座A的约束反力。梁上受线荷载作用，线荷载最大集度为qB，梁长度为l。解：取AB梁为研究对象，画出AB梁的受力图如图4.5（b）所示。以A为坐标原点，建立Axy坐标系，列平衡方程0:0110:022xAxyAyBAyBFFFFqlFqlqB图4-5AABBlxy(a)(b)AAFFxyqMAB2()0:1202313AABABMlMqlMqlF选A为矩心建立力矩方程baleGGG图4-6ABCF312NAFNB例4.6塔式起重机如图4-6所示。设机身所受重力为G1，且作用线距右轨B为e，载重的重力G2距右轨的最大距离为l，轨距AB=b，又平衡重的重力G3距左轨A为a。求起重机满载和空载时均不致翻倒，平衡重的重量G3所应满足的条件。解：1．以起重机整体为研究对象2.起重机不致翻倒时其所受的主动力G1、G2、G3和约束反力FNA，FNB组成一平面平行力系。3．满载且载重G2距右轨最远时，起重机有绕B点翻倒的趋势，列平衡方程：2133210:()0[()]/BNANAMGlGeGabFbFGabGlGebF起重机不绕B点往右翻倒的条件是：0NAF其中等号对应于起重机处于翻倒与不翻倒的临界状态。满载且平衡时G3所应满足的条件为baleGGG图4-6ABCF312NAFNB312GbaeGlGbaGebGFaGebGbFFMNBNBA/])([0)(:031314．空载时G2＝0，起重机有绕A点向左翻倒的趋势，列平衡方程：起重机不绕A点向左翻倒的条件是：0NBF空载且平衡时G3所应满足的条件为：baleGGG图4-6ABCF312NAFNBaebGG/)(13312GbaeGlG起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重量G3所应满足的条件为：aebGGbaeGlG)(1312aebGG/)(134.4物体系统的平衡静定与超静定问题的概念4.4.1物体系统的平衡1）物体系统在实际工程中，常遇到的研究对象不是某单个的物体，而是由若干个物体借助某些约束按一定方式组成的系统，称为物体系统，因此，需要研究物体系统的平衡问题。物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体也处于平衡。因此，分析物体系统的平衡，可选择整个系统为研究对象，也可选择其中某部分或某个物体为研究对象，取出所选研究对象，画出其分离体和受力图，建立相应的平衡方程，即可解出所需求解的未知量。外约束：物体系统受到外界物体的约束称为外约束；内约束：物体系统内，各个物体的相互联系称为内约束。外力：外界物体的作用力或外约束的约束力；内力：系统内各个物体间相互的作用力称为。内力是成对出现，并等值、反向、共线，且同时作