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111级小学教育（数学）数学思维方法复习题一、选择题1．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是(B)。A．猜测——类比——联想B．联想——类比——猜测C．类比——联想——猜测D．类比——猜测——联想2．传统数学教学只注重(A)的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。A．形式化B．科学化C．系统化D．模型化3．中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》____的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。(A)A．以算为主逻辑演绎B．演绎为主推理证明C模型计算为主几何作画为主D．模型计算几何证明4．公理化方法就是从(D)出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。A．一般定义和公理B．特定定义和概念C．特殊概念和公理D．初始概念和公理5．归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是(C)。A．归纳——猜测——特例B.猜测——特例——归纳C．特例——归纳——猜测D．特例——猜测——归纳6．所谓数学模型方法是(B)。A．利用数学实验解决问题的一般数学方法B．利用数学模型解决问题的一般数学方法C．利用数学理论解决问题的一般数学方法D．利用几何图形解决问题的一般数学方法.27．数学的第一次危机是由于出现了(C)而造成的。A.无理数B．整数比詈不可约C．无理数D.有理数无法表示正方形边长8．所谓统一性，就是(C)之间的协调。A．整体与整体B．部分与部分C.部分与部分、部分与整体D．个别与集体二、填空题1、古代西方的数学哲学观把数学看成是公理化的模式,2、逻辑思维的基本规律有同一律,矛盾律,排中律和充足理由律3、数学想象的特征有形象性,概括性,直觉性,整体性,4、灵感的两个特征是长期思维后的突发性,模糊性与突逝性5、根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维,6、最常用的数学推理包括归纳、推理和演绎推理,7、“分期付款”、“复利息计算”属于经济生产类方面的数学模型。8、模糊数学的理论基础是美国数学家查德的模糊集合理论。9、充足理由律的主要作用在于保证思维的论证性。10、中国古代数学哲学观是追求数学的准确、快捷的实用。11、数学概念的相容关系主要有同一关系、从属关系、交叉关系。12、数学命题两种表现形式是公理和定理。13、模糊数学在处理问题时，采用的方法是用“隶属函数”来描述的。四、简答题1、简述算术向代数的发展原因。答：算术思维方式逐步跟不上不断发展的数学内容。一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题，以及对这些3问题各种解法的过程中，启发人们寻求解这些应用问题的一般方法，于是发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，初等代数。2、简述化归法在数学解题中的作用。答：数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。1、化归在数学中的运用，不仅是转化而且还是一个“熟化”的过程；2、化归作为一种思维方式，作为一种解题方法，它体现了一种化难为易的形式；3、化归作为一种解题方式，有时会把一般性问题转化为特殊问题。3、数学想象的作用有哪些方面？答：（1）在利用数学想象解决数学问题方面：所谓利用数学想象，就是利用充分运用数学想象的形象性、概括性、直觉性和整体性的特征，在处理具体问题时发挥数学想象的作用，使数学的学习有兴趣，而不是把数学问题完全变成一个抽象的一成不变的逻辑论证。（2）在利用数学想象发展创造性思维方面：其一是指数学家们要学会脱离逻辑思维形成的定势，运用数学想象创造出新的数学理论：其二是指学习数学或教授教学时，不应过分强调数学的严谨性、唯一性，二应提供解决问题的多样性、变化性，尤其鼓励那些利用想象形成有创新思维的结果。4、简述数学思维中逻辑思维与非逻辑思维的区别。答：逻辑思维采用分析与综合，归纳与演绎等方法，证明推理严密、科学。非逻辑思维主要通过突破原有概念和思维规则的约束，从不同角度来思考问题，思维松散、自由，联想的方面广。5简述分析法与综合法的区别答：分析法是从所需结论出发,以定义,定理为依据逆推,从而达到已知条件。综合法是从已知的定义、条件出发从而导出所求的结论的一种方法。分析法偏重于探求证明思路,综合法以简明完整的思路表述中占优势,两者思维方式各有所长。6、公理化方法的主要特征是什么？4答：具有高度的形象化与抽象化，即除了形式化的方法的特征外,基本概念、基本关系的表述、证明都要符号化,其次,这种公理化方法,采用数理逻辑作为它的演绎工具。五、说明题1、RMI方法的特征是什么?以解不等式132xx为例，说明RMI方法的应用。答:含有一个映射和对应的逆映射。推理的过程合乎情理。2、简述合情推理的方法或步骤，并结合下面例题给予说明。弄清问题,制定计划,实施计划和回顾例：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，那么n条直线的交点f(n)有多少个？（n≥2）任意两直线有一交点（无平行线）;所以考虑任一直线，与其余直线有（n-1）交点而每个交点恰好属于两直线（任何三条不过同一点）,所以有n(n-1)/2个交点。3、举例说明合情推理在数学学习中的作用。4.结合实例说明观察与实验在中小学数学学习中的作用。(一)观察法在数学教学中的作用。（1）观察法在数学概念教学中的作用。数学概念是客观事物或现象的数学关系、空间形式的基本属性的人们头脑中的反映。所以，许多数学概念，尤其是中小学数学中的有关数、形、函数的概念，在实际生活中都可以发现它的现实原型；而且，数学概念是高度概括、高度抽象的产物，只有密切联系现实原型，从学生接触过或认识过的事物入手，才能使学生容易地理解、掌握数学概念。例如，在引入正负数概念之前，先有意识地让学生观察“零上8℃”，“高于5米，低于3米”等具有相反意义的量，了解引进新的数来表示这种实际问题的必要性，从而可使学生易于接受正负数的概念。（2）观察法在发现数学定理、公式中的作用。数学中的定理、公式，就是数学对象之间的关系的一种反映或描述，而数学对象之间的5许多关系是从对数学对象的直接观察中得来的。所以，有人说，观察是数学科学研究的“敲门砖”、“引路石”，很有道理的。例如，揭示凸多面体顶点数v、棱数e、面数f之间的关系的欧拉公式v+f-e=2正是始于观察而发现的。（3）观察是一种有效的解题方法。数学解题需要透过观察去认识本质，找出问题的内在联系和规律。观察是一种有目的、有计划、有组织的主动知觉的方法，边观察边思考，有助于寻找解题的突破口，有助于探索和发现解题途径。例：自点a（-3，3）发出的光线ι射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆c：（x-2)^2+(y-2)^2=1相切，求光线ι的直线方程。分析：这个问题初看似乎难求解，我们不妨结合图形来观察。因为入射光线与反射光线关于x轴对称的，所以圆c关于x轴对称的圆c1必与入射光线相切，这样学生就能简捷地解出光线ι的直线方程。（二）实验法在数学教学中的作用。在数学中，实验法可用来发现或验证数学对换的性质。如几何中对各种图形面积、体积的计算或公式的导出，常使用割补变换成易于计算的等积图形来加以解决。因此，在数学中，应重视实验方法的作用。不同的学科领域和不同的实验目的，其所需要进行的实验也不同，因而实验方法各有不同。在数学中的实验法，一般可归纳为三类：（1）特例实验。特例实验是指在解决数学系问题过程中，按照一定方向，取特例进行探索、试验，从中探索求解决问题的方向和途径，并发现其中的规律。例：试求方程x^2-7y^2=1的最小正整数解。分析：将原方程化为x^2=1+7y^2，由于所求的是方程的最小正整数解，而最小的正整数是1，所以不妨取y=1,y=2,y=3,„„特殊值试验。（2）定性实验。定性实验是探讨研究对象的质的规定性方法，它往往用来检验对象具有某些性质，某种因素之间存在什么关系等，换言之，其目的在于验证和修正猜想，使猜想更趋于数学真6理。例如，对于哥德巴赫猜想：“任何一个大于4的偶数均可表示成两奇素数之和”，一时找不到证明的途径，那么总想通过一些新的事物加以验证，如我们考查偶数28，因为：28=5+23,即28可以表示成两奇数素数之和。这样便对猜想作了一些验证。（3）定量实验。定量实验是以探索数学对象的量的变化及其规律为直接目的实验，即是用来测定对象的数值、数量之间关系的实验。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性实验是基础；定量实验的精确化，其结果往往更具有说服力。例：证明平面几何中的“三角形内角和定理”。教师在讲授此定理时，一般可通过定量实验引导学生发现这一定理，如用量角器测量三角形三内角并求和。也可以用割补法。用纸片剪下一个三角形（记为△abc），然后，“撕下”两个角（∠a和∠b），并将它们拼在∠c的顶点会发现△abc的三个内角就以c为顶点结合在一起。我们便会发现，∠2的边与线段bc重合，即△abc三内角之和为180°。这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还提供了一种证明此命题的方法。六、论述题1、数学猜想的特征是什么？数学猜想在中小学数学教育中如何发挥作用？答：数学猜想的特征：(一）待定性（可研究性）（二）创新性其中创新性包括：1、提出新问题或预见新的数学结论；2、揭示新的数学规律；3、创建新的方法。对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：（1）运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动。现代教育理论认为，学生需要智力因素和非智力因素的有机结合。学生学习中的兴趣、情感、态度、意志等非智力因素是数学学习的重要因素。它表现为一种内驱力，是学生学习的根本动力，是推动、定向、调节学生智力因素的动力系统。因此，运用数学猜想的方法作为中小学数学教育的一种方式，鼓励学生在数学学习中主动进行猜测，实际上提高了学生学习数学的兴趣，使他们按照自己的理解对问题提出猜测性的7解决方法。（2）在理解数学的理论和方法方面。传统的数学教育，在中小学中强调数学理论的内在严谨性，理解数学的方法是按照例题的方式来学习，这是一种被动式的机械模仿式的学习。提供以数学猜想式的方式进行数学教育和数学学习，可以鼓励学生提出自己对解题方式、命题形式的猜测。（3）在动手解决具体问题方面。数学教育要求学生能用学到的知识解决具体问题，因此我们鼓励运用数学猜想的形式进行数学学习，要求学生在加深对数学概念、方法、命题理解的基础上，提出自己对问题解决的猜想，这种解决问题的猜想可以是猜想运用哪一种公式、哪一种方法，同时也是猜测可能出现什么样的结果。这不是机械模仿是的学习，而是一种运用自我能力的实际操作。2、中小学数学教学中怎样培养学生建立数学模型的能力？答：从对数学模型的要求和构造的过程与步骤来看,一个人构造数学模型的能力包括以下五个方面:1、分析,综合能力2、抽象,概括能力3、想象能力4、运用数学工具的能力5、通过实践验证数学模型的能力因此,为了培养构造数学建模的能力,首先,要学的”杂”一些,知识面要广一些,要尽量掌握有关自然科学,工程技术等方面的一些基本原理方法和定律。其次,在学习数学时,要尽量多作些应用题。例如:在中学阶段多作些代数和三角方面的应用题，在大学阶段多作些微积分、微分方程、概率统计等方面应用题。这对提高学生分析问题的能力和用数学工具解决实际问题的能力，是必不可少的基本训练。最后，还必须多接触实际，只有深入到实践中去才能发现问题，只有善于发现问题，才能有可能解决问题，只有善于解决问题，才能不断提高建造数学模型的能力。83、中国古代数学思维方法对我们今天的数学教育有什么启示？答：1、唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式。中国古代数学借助运算工具，以实用为目标发展，并形成了自己的体系。因此现代数学的教育观念也应当与当时、当地的文化状态相结合，以现实问题为目标，引起学生的兴趣，使学生对数学有信心，有解决具体问题的数学能力。过分追求数学的理性形式、严格的概念、形式化的逻辑运演模式，会使中小学生失去应用数学解决问题的信心。2、直观性、实用