机械故障诊断学钟秉林第3章动态系统特性的时域分析

第3章动态系统特性的时域分析概述随机过程和时间序列时间序列的统计分析线性时间序列模型及其应用工况状态变化趋势性模型分析机械故障诊断理论与方法2019/8/91特征分析的目的：去伪存真去粗取精特征分析的手段：时域频域及其各种变换域时频域1、概述2019/8/92涉及：数字信号处理、概率论与数理统计、随机过程、时间序列分析、信息理论、图像处理及人工智能等随机过程的基本概念：实现、随机过程、随机变量2、随机过程和时间序列2019/8/93实现(Realizaition)：在时间t∈T范围内，每进行一次实验所得的观测结果，称为一次实现。多次实现记为若为一次实现简记为，离散数据序列通常都是一次实现，简记为。,kxt,wk=1,2,,nk为实现次数。xttx2、随机过程和时间序列2019/8/94随机过程(Stochasticprocess)：在时间t∈T范围内，k次实验的总体—样本函数称为随机过程。其中，离散数据序列记为,kxt,wk=1,2,,ntxtT；2、随机过程和时间序列2019/8/95随机变量(Stochasticvariable)：每次实现的观测值称为随机过程在该时刻的随机变量。每次观测到的结果是不相同的，它表明了随机过程的观测值不能重复（重要事实）123,,,iiixt,wxt,wxt,w实现、随机过程、随机变量三者的关系实现1实现2实现4实现3时间t观测值x(t)t=kx(k,1)x(k,2)x(k,4)x(k,3)样本空间上的随机变量2019/8/96FxPxxtPxxxxpxxt,随机变量的分布函数随机变量xt的分布函数：若存在非负函数p(x)，使得x0时：对任意的x(-,+)成立，则称p(x)为随机变量xt的概率密度函数。pxx12222exp2,txN正态分布的概率密度函数：2019/8/97随机过程的数字特征随机过程在各时刻对应的随机变量的联合概率密度函数可以完整地描述随机过程的性质。但对于工程领域中的随机过程，其各时刻随机变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率密度函数通常难以确定，因此有必要引入随机过程的某些数字特征进行描述。2019/8/9800ttttxtt903060120150时间t0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.8ttExxpxdxttttExExxpxdx222均值与方差2019/8/99意义：随机变量的均值反映了的随机变化中心，方差则反应了随机变量不同的样本函数对均值的平均偏离程度。txMxExxpxdxokttkkMxExExxpxdxcktttktkk阶原点矩k阶中心矩矩函数2019/8/910由定义可见，随机变量的均值即为一阶原点矩，方差即为二阶中心距。cov(,),tsttssttsststsxxExExxExxxpxxdxdx自相关函数（系数）自协方差函数和自相关函数自协方差函数ststststdxdxxxpxxxxEstr,,tsrtsrttrss,,,,2019/8/911二元对称nittnniiExxEtt11,,cov工程中，通常对随机变量进行零均值处理，此时：),(),cov(strxxst高阶自协方差函数和高阶自相关函数nitnnixEttr11,,2019/8/912平稳过程：随机过程的分布函数或概率密度函数(若存在)不随时间t的变化而变化。平稳随机过程及其性质严平稳过程：constantkttkoxExMconstantktttkcxExExMnntt,,cov1nnttr,,1和与t无关。2019/8/913宽平稳随机过程条件：constanttxEExt2Exxrtt一般，随机过程的严平稳性与宽平稳性没有确定的因果关系，严平稳性条件通常较宽平稳性条件严格，若严平稳过程具有二阶矩，则其也必为宽平稳过程。特别地，对于正态随机过程，严平稳与宽平稳相互等价。2019/8/914①均值：②二阶原点矩：③自协方差：具有遍历性的随机过程必为平稳过程；但平稳过程未必是遍历的；遍历性是工程信号统计分析方法的基础。平稳随机过程的遍历性所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是：在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态。对遍历性随机过程而言，过程的集合平均等于其任何一个样本在时间T上的平均2019/8/915=11limNttNtExxN3、时间序列的统计分析统计分析：基于时间序列的平稳性和遍历性假设，根据观测样本对时间序列的各种数字特征或分布函数作出某种切合实际的估计。时间序列：按时间顺序排列的一组数据。在时间序列分析领域，通常指一组时间或空间有序的随机数据，为深入分析，偶尔也涉及确定性数据。2019/8/916NktkttkttxxkNxxEkr11ˆˆExNxtttN1122211ExExNxttttN均值和方差估计,,rkkNkxxxnnttktktNkn111111自协方差（相关）函数估计高阶自协方差（相关）函数估计kkknmax,,112019/8/917,=1,,Ntxt设为平稳遍历时间序列的观测样本K值可正可负313311NttxNxEg偏度系数和峭度系数012345-1-2-3-4-500.10.20.30.40.5p(x)g111＜0gg＞0=0x偏度系数：2019/8/918012345-1-2-3-4-500.20.40.60.8g23g23g23xp(x)峭度系数：NttxNxEg1444212019/8/919概率密度函数的估计xxxtxxPxprx])([lim)(0TTxxtxxPxTrlim)(niixtT1xx+x0x(t)t1t2t3t4tT0xp(x)2019/8/9200100200300400x时间tx(t)KN187104..区间的数目：2019/8/9214、线性时间序列模型分析及其应用动态过程十分复杂，从观测数据不能直接分析系统的变化规律数学模型。动态过程状态的变化，反映在其数学模型的结构、参数和特征函数的变化。模型可以用于对系统的未来状态和发展趋势进行预报和控制。研究动态系统时域模型是工况监视与故障诊断的重要方法和手段之一根据观测值直接建模,无需知道系统输入和传递函数2019/8/9224.1时间序列模型的结构特征•观测数据特点(机械设备运行中)–动态过程是随机过程–系统的输入无法确知–机械系统相互耦合•时间序列模型（timeseriesmodeling）–时间序列数据有一个时间上的顺序–是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)–建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构2019/8/9234.2时间序列建模方法•主要时序模型–自回归滑动平均模型(ARMA模型):平稳正态–双线性模型:–门限自回归模型:非线性自激振荡–指数自回归模型:复现非线性现象–状态依赖模型:•预处理–平稳性检验–正态性检验–随机趋势检验和处理2019/8/9244.3自回归过程(Auto-regressivemodel,AR)•如果一个随机过程可表达为•其中Фi,i=1,…n是自回归参数，ut是白噪声（指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声）过程，则称xt为n阶自回归过程，用AR(n)表示。xt是由它的n个滞后变量的加权和以及ut相加而成。•若用滞后算子表示•其中称为特征多项式或自回归算子。tntntttuxxxx2211tttnnuxBxBBB)()1(221)1()(221nnBBBB2019/8/925•与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程的所有根的绝对值都大于1，则AR(n)是一个平稳的随机过程。•AR(n)过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，xt=1xt-1+ut保持其平稳性的条件是特征方程(1-1B)=0根的绝对值必须大于1，满足|1/1|1，也就是：|1|10)1()1)(1()1()(21221BGBGBGBBBBnnn2019/8/926定义后移算子B：线性时间序列模型——ARMA(n,m)模型mtmtttntnttaaaaxxxx221122111nttnxxBnnBBBB2211)(mmBBBB2211)(ARMA：AutoregRessiveMovingAverage自回归滑动平均模型:适于平稳正态过程2019/8/927BBatxt则：xtBBat()()()()()()()()BxtBat自回归AR(n)模型：xxatiintit1xaattjjmtj1滑动平均MA(m)模型：建立ARMA模型的条件：时间序列平稳、线性ARMA(n,m)序列{xt}可以视为一个传递函数为的系统在白噪声序列{at}激励下的响应)()(BB2019/8/9284.4N阶连续系统微分方程)()()()()()()()(1111011110tybdttdybdttydbdttydbtxadttdxadttxdadttxdammmmmmnnnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsYsXsH11101110)()()(传递函数：离散系统：0)()()()()(kssTskTtkTxttxtx差分方程：)()1()()()2()1()(1021mtybtybtybntxatxatxatxmn传递函数：nnmmzazazazbzbzbbzYzXzH2211221101)()()(2019/8/929ARMA(n,m)模型的稳定性及其特性函数ARMA模型：nnmmttBBBBBBBBax212111)()(算子方程：01)(221nnBBBB特征方程：nnnn11220设算子方程有n个根，且没有重根，不失一般性，令：1211kkn2019/8/930一般在工程中滑动平均部分的阶数总是小于自回归部分，故有：()()BBABABABBiiiniiiikiiikn11111)1(0110jjjinkiikijjiiiBABAABABiijikjjiijiknjj110101()物理不可实现2019/8/931从工程应用来看，只有当k=n，且|i|1，即|i|1时，系统物理可实现。即系统物理可实现的条件为算子方